Xét một bảng ô vuông kích thước \(3 \times 3\). Mỗi ô được điền ngẫu nhiên và độc lập một giá trị từ tập \(\{ - 1;0;1\} \). Biết rằng tổng các số trên mỗi hàng đều bằng 0, gọi \(p\) là xác suất để tổng các số trên mỗi cột cũng đều bằng 0. Tính giá trị của \(3430p\).

 

 

Đáp án: 310

Công thức: \(P(B|A) = \frac{{n(A \cap B)}}{{n(A)}}\)

 Biến cố \(A\): Tổng các số trên mỗi hàng bằng 0.

 Biến cố \(B\): Tổng các số trên mỗi cột bằng 0.

 Chúng ta cần tính số trường hợp của \(A\) và số trường hợp của \(A \cap B\) (tức là cả hàng và cột đều bằng 0).

Bước 1: Tính số cách điền để tổng mỗi hàng bằng 0 (\(n(A)\))

Xét một hàng gồm 3 ô \((x,y,z)\) có giá trị thuộc \(\{ - 1;0;1\} \) sao cho \(x + y + z = 0\). Các bộ số thỏa mãn là:

1. Bộ \(\{ 0;0;0\} \): Có 1 hoán vị \((0,0,0)\).

2. Bộ \(\{ 1; - 1;0\} \): Có \(3! = 6\) hoán vị (ví dụ: \((1, - 1,0),(0,1, - 1),...\)).

\( \Rightarrow \) Có tổng cộng \(1 + 6 = 7\) cách để điền một hàng sao cho tổng bằng 0.

Vì bảng có 3 hàng độc lập, tổng số cách điền thỏa mãn điều kiện \(A\) là: \(n(A) = 7.7.7 = 343\)

Bước 2: Tính số cách điền để CẢ hàng và cột đều bằng 0 (\(n(A \cap B)\))

Gọi hàng gồm toàn số 0 là hàng “0” và hàng chứa \(\{ 1; - 1;0\} \) là hàng “khác”.

Để tổng mỗi cột bằng 0. Chúng ta xét các trường hợp của 3 hàng:

 Trường hợp 1: Cả 3 hàng đều là hàng “0”

o Bảng chỉ toàn số 0. Hiển nhiên tổng cột cũng bằng 0.

o Số cách: 1 cách.

 Trường hợp 2: Có 1 hàng “0” và 2 hàng “khác”

o Gọi hàng “0” là \({H_z}\), hai hàng “khác” là \({H_1},{H_2}\).

o Để tổng mỗi cột bằng 0 thì trên mỗi cột: \({H_z} + {H_1} + {H_2} = 0 \Rightarrow {H_1} + {H_2} = 0 \Rightarrow {H_2} = - {H_1}\).

o Chọn vị trí cho hàng “0”: có 3 cách (hàng 1, 2 hoặc 3).

o Chọn giá trị cho hàng \({H_1}\): có 6 cách (các hoán vị của \(1, - 1,0\)), (vì \({H_2}\) và\({H_1}\) đối nhau nên \({H_1}\) không có chọn vị trí hàng trong 2 hàng còn lại )

o Hàng \({H_2}\) bắt buộc phải là số đối của \({H_1}\) (ví dụ \({H_1}\) là \((1, - 1,0)\) thì \({H_2}\) phải là \(( - 1,1,0)\)), nên chỉ có 1 cách duy nhất.

o Số cách: \(3.6.1 = {\bf{18}}\) cách.

 Trường hợp 3: Cả 3 hàng đều là hàng “khác”

o Mỗi hàng đều có tập \(\{ 1, - 1,0\} \). Tổng cả bảng có ba số 1, ba số -1, ba số 0.

o Để tổng cột bằng 0, mỗi cột cũng phải có tập giá trị là \(\{ 1, - 1,0\} \) (không thể có cột \(\{ 0,0,0\} \) vì nếu thế 2 cột còn lại sẽ không thể có tổng bằng 0 với các số còn lại).

o Điều này nghĩa là mỗi hàng có đúng một số 0, và mỗi cột cũng có đúng một số 0.

 Bước 3.1: Xếp 3 số 0 vào bảng sao cho mỗi hàng 1 số, mỗi cột 1 số. Có \(3! = 6\) cách.

Giải thích: Hàng 1: đặt số 0 có 3 cách, hàng 2: đặt số 0 có 2 cách; hàng 3: đặt số 0 có 1 cách. Suy ra có Có \(3! = 6\) cách.

\(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\bf{0}}&x&x\\x&{\bf{0}}&x\\x&x&{\bf{0}}\end{array}} \right]\) \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\bf{0}}&x&x\\x&x&{\bf{0}}\\x&{\bf{0}}&x\end{array}} \right]\)\(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}x&{\bf{0}}&x\\{\bf{0}}&x&x\\x&x&{\bf{0}}\end{array}} \right]\)\(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}x&{\bf{0}}&x\\x&x&{\bf{0}}\\{\bf{0}}&x&x\end{array}} \right]\)\(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}x&x&{\bf{0}}\\{\bf{0}}&x&x\\x&{\bf{0}}&x\end{array}} \right]\)\(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}x&x&{\bf{0}}\\x&{\bf{0}}&x\\{\bf{0}}&x&x\end{array}} \right]\)

 Bước 3.2: Sau khi xếp số 0, các ô còn lại trong mỗi hàng là \(1\) và \( - 1\). Với một vị trí các số 0 cố định, chỉ có đúng 2 cách điền các số \(1, - 1\) hợp lệ (bạn chọn 1 ô là 1 thì các ô khác sẽ bị ràng buộc theo dây chuyền).

o Số cách: \(6.2 = {\bf{12}}\) cách.

Tổng số trường hợp thỏa mãn mỗi hàng và cột bằng 0 là: \(n(A \cap B) = 1 + 18 + 12 = 31\)

Tính xác suất \(p = \frac{{31}}{{343}}\)

\(3430p = 3430.\frac{{31}}{{343}} = 10.31 = 310\).