Xét các cấp số cộng \(\left( {{a_n}} \right)\) có số hạng đầu tiên \({a_1}\) và công sai \(d\) đều là các số nguyên dương và thỏa mãn \({2^{{a_8}}} = {2^{27}}{a_8}\). Tìm giá trị nhỏ nhất của \({a_3}\).

Bồn hoa là hình phẳng giới hạn bởi parabol \(\left( P \right):y = - {x^2} + 4\) và trục hoành \(Ox\).

a) Sai.

Phương trình hoành độ giao điểm của \(\left( P \right):y = - {x^2} + 4\) và trục hoành \(Ox\) là \( - {x^2} + 4 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 2\\x = 2\end{array} \right.\).

Diện tích toàn bộ bồn hoa (tổng diện tích trồng hoa hồng và trồng cỏ Nhật ) bằng:

\(S = \frac{2}{3}.d.h = \frac{2}{3}.4.4 = \frac{{32}}{3}\) (với \(d\) là độ dài đáy, \(h\) là chiều cao).

b) Sai.

Đường thẳng \(d:\,y = ax + b\) qua \(M\left( {0;1} \right) \Rightarrow b = 1\).

Nên \(d:y = ax + 1\).

Phương trình hoành độ giao điểm của đường thẳng \(d\) và parabol \(\left( P \right)\) : \( - {x^2} + 4 = ax + 1 \Leftrightarrow - {x^2} - ax + 3 = 0.\,\,\,\left( * \right)\)

Áp dụng định lý Vi – ét: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = - a\\{x_1}.{x_2} = - 3\end{array} \right.\) .

c) Đúng.

Diện tích trồng hoa hồng là diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol \(\left( P \right)\) và đường thẳng \(d\)có công thức tính nhanh \[{S_1} = \frac{{\left| { - 1.{{\left( {{x_1} - {x_2}} \right)}^3}} \right|}}{6}\]

Mà \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = - a\\{x_1}.{x_2} = - 3\end{array} \right.\)

\[\begin{array}{l}{\left( {{x_1} - {x_2}} \right)^2} = x_1^2 - 2{x_1}{x_2} + x_2^2 = {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 4{x_1}{x_2} = {a^2} + 12.\\ \Rightarrow \left| {{x_1} - {x_2}} \right| = \sqrt {{a^2} + 12} \end{array}\]

\[{S_1} = \frac{{\left| { - 1.{{\left( {{x_1} - {x_2}} \right)}^3}} \right|}}{6} = \frac{{{{\left| {{x_1} - {x_2}} \right|}^3}}}{6} = \frac{{{{\left( {\sqrt {{a^2} + 12} } \right)}^3}}}{6}\].

Dễ thấy \({S_{1\left( {\min } \right)}} \Leftrightarrow a = 0 \Rightarrow d:y = 1\).(song song với trục hoành).

d) Đúng.

Diện tích trồng hoa hồng gấp đôi diện tích trồng cỏ Nhật nên:

\({S_1} = 2\left( {S - {S_1}} \right) \Leftrightarrow 3{S_1} = 2S \Leftrightarrow {S_1} = \frac{2}{3}S \Leftrightarrow \frac{{{{\left( {\sqrt {{a^2} + 12} } \right)}^3}}}{6} = \frac{2}{3}.\frac{{32}}{3} \Leftrightarrow \frac{{{{\left( {\sqrt {{a^2} + 12} } \right)}^3}}}{6} = \frac{{64}}{9}\)

\[ \Leftrightarrow {\left( {\sqrt {{a^2} + 12} } \right)^3} = \frac{{128}}{3} \Leftrightarrow {a^2} = {\left( {\frac{{128}}{3}} \right)^{\frac{2}{3}}} - 12\].

Gọi \(A\left( {{x_1};a{x_1} + 1} \right),B\left( {{x_2};a{x_2} + 1} \right)\)

\(AB = \sqrt {{{\left( {{x_2} - {x_1}} \right)}^2} + {a^2}{{\left( {{x_2} - {x_1}} \right)}^2}} = \sqrt {{{\left( {{x_2} - {x_1}} \right)}^2}\left( {1 + {a^2}} \right)} = \sqrt {{{\left( {\sqrt {{a^2} + 12} } \right)}^2}.\left( {1 + {a^2}} \right)} \)\(\)

\(AB = \sqrt {{{\left( {\frac{{128}}{3}} \right)}^{\frac{2}{3}}}.\left( {1 + {{\left( {\frac{{128}}{3}} \right)}^{\frac{2}{3}}} - 12} \right)} \approx 3,84\).

Vậy chiều dài của dải đèn LED xấp xỉ \(3,84\)mét (làm tròn đến hàng phần trăm).

Đáp án: \[60,2\].

Chọn hệ trục toạ độ \(Oxy\) như hình vẽ (đơn vị \(dm\)). Khi đó các parabol nhận trục tung làm trục đối xứng, \(\left( {{P_1}} \right)\) đi qua \(\left( {0; - 3} \right)\) và \(\left( {3;3} \right)\) nên có phương trình \(\left( {{P_1}} \right):y = \frac{2}{3}{x^2} - 3\); \(\left( {{P_2}} \right)\) đi qua \(\left( {0;3} \right)\) và \(\left( {3; - 3} \right)\) nên có phương trình \(\left( {{P_2}} \right):y = - \frac{2}{3}{x^2} + 3\).

Hoành độ giao điểm của \(\left( {{P_1}} \right)\) và \(\left( {{P_2}} \right)\) là nghiệm của phương trình \(\frac{2}{3}{x^2} - 3 = - \frac{2}{3}{x^2} + 3 \Leftrightarrow x = \pm \frac{{3\sqrt 2 }}{2}\)

Lấy \(M\left( {x; - \frac{2}{3}{x^2} + 3} \right)\) \(\left( {0 < x < \frac{{3\sqrt 2 }}{2}} \right)\)

Suy ra diện tích hình chữ nhật trắng là \({S_1} = 2x.2.\left( { - \frac{2}{3}{x^2} + 3} \right) = - \frac{8}{3}{x^3} + 12x\;\left( {d{m^2}} \right)\) và phần diện tích màu là \({S_2} = S - {S_1} = {6^2} - \left( { - \frac{8}{3}{x^3} + 12x} \right) = \frac{8}{3}{x^3} - 12x + 36\;\left( {d{m^2}} \right)\).

Suy ra chi phí \(C\left( x \right) = \left( { - \frac{8}{3}{x^3} + 12x} \right).0,8 + \left( {\frac{8}{3}{x^3} - 12x + 36} \right).2 = \frac{{16}}{5}{x^3} - \frac{{72}}{5}x + 72\) (nghìn đồng)

Có \(C'\left( x \right) = \frac{{48}}{5}{x^2} - \frac{{72}}{5} = 0 \Leftrightarrow x = \pm \frac{{\sqrt 6 }}{2}\),

Có BBT

Suy ra \(\mathop {\min }\limits_{\left( {0;\frac{{3\sqrt 2 }}{2}} \right)} C\left( x \right) = \frac{{360 - 24\sqrt 6 }}{5} \approx 60,2\)(nghìn đồng).