Cho hàm số \(y = f(x) = \frac{{ax + b}}{{cx - 1}}\) (với a, b, c, d là các số thực) có đồ thị được cho ở hình

a) Đúng

Dựa vào hình ảnh đồ thị đã cho ta có x = 1 là đường tiệm cận đứng và y = -1 là đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số

b) Sai

Từ đồ thị ta có

Đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số là \(x = \frac{1}{c} \Rightarrow \frac{1}{c} = 1 \Rightarrow c = 1\)

Đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm là \(y = \frac{a}{c} \Rightarrow \frac{a}{c} = - 1;c = 1 \Rightarrow a = - 1\)

Đồ thị hàm số đi qua điểm (2;0) nên \(\frac{{2a + b}}{{2c - 1}} = 0 \Rightarrow 2a + b = 0,a = - 1 \Rightarrow b = 2\)

Ta có a + 2b - 3c = -1 + 2.2 – 3.1= 0

c) Đúng

Ta có hàm số \(y = f(x) = \frac{{ - x + 2}}{{x - 1}}\,\) nên \(f'(x) = \frac{{ - 1.( - 1) - 2.1}}{{{{(x - 1)}^2}}} = \frac{{ - 1}}{{{{(x - 1)}^2}}}\,\,\,(x \ne 1)\)

Suy ra \(f'(x) < 0\) với mọi\(x \in R\backslash \left\{ 1 \right\}\)

d) Sai

Cách 1: Áp dụng công thức tính nhanh đối với hàm số phân thức dạng \(y = \frac{{ax + b}}{{cx + d}}\,\) (điều kiện \(ad - bc \ne 0;\,c \ne 0\)) thì khoảng cách ngắn nhất giữa hai điểm M và N thuộc hai nhánh khác nhau của đồ thị được tính bằng công thức \(M{N_{\min }} = 2\sqrt {\frac{{2\left| {ad - bc} \right|}}{{{c^2}}}} \)

+ Ta có a = -1; b = 2; c = 1; d = -1

+ \(\left| {ad - bc} \right|\, = 1\)

+ \(M{N_{\min }} = 2\sqrt {\frac{{2.1}}{{{1^2}}}} \, = 2\sqrt 2 = \sqrt 8 \)

Cách 2: Ta có hàm số \(y = \frac{{ - x + 2}}{{x - 1}}\, = - 1 + \frac{1}{{x - 1}}\)

Gọi \(M({x_1};{y_1})\) thuộc nhánh trái của đồ thị hàm số

\(N({x_2};{y_2})\) thuộc nhánh phải của đồ thị

Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} = 1 - m\\{x_2} = 1 + n\\m,n > 0\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{y_1} = - 1 - \frac{1}{m}\\{y_2} = - 1 + \frac{1}{n}\end{array} \right.\)

\(\begin{array}{l}M{N^2} = {({x_2} - {x_1})^2} + {({y_2} - {y_1})^2}\\ = {(m + n)^2} + {(\frac{1}{m} + \frac{1}{n})^2} = {(m + n)^2} + {(\frac{{m + n}}{{mn}})^2}\\\, = {(m + n)^2}\left[ {1 + \frac{1}{{{{(mn)}^2}}}} \right]\\\mathop \ge \limits^{\cos i} {(2\sqrt {mn} \,)^2}.\left[ {1 + \frac{1}{{{{(mn)}^2}}}} \right] = 4(mn + \frac{1}{{mn}})\\\mathop \ge \limits^{\cos i} \,4.2\sqrt {mn.\frac{1}{{mn}}} = 8\end{array}\)

\(M{N_{\min }} = \sqrt 8 \, \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m = n > 0\\mn = \frac{1}{{mn}}\end{array} \right. \Leftrightarrow m = n = 1\).