Bạn Tiến làm một bài kiểm tra gồm 20 câu hỏi trắc nghiệm nhiều lựa chọn. Mỗi câu hỏi có 4 phương án trả lời và chỉ có một phương án đúng, trả lời đúng mỗi câu được 0,5 điểm. Bạn ấy đã làm đúng 15 câu, trong những câu còn lại có hai câu bạn ấy đã loại được một phương án sai. Do quá sát giờ nộp bài nên bạn ấy đã trả lời bằng cách chọn ngẫu nhiên. Tính xác suất để bạn Tiến được 9 điểm. (làm tròn đến hàng phần trăm).

Đáp án: 0,57.

+) Người quan sát ở điểm \(M\left( {1;2;3} \right)\). Vật cần quan sát ở điểm \(N\left( {3;6; - 12} \right)\).

\(MN:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1 + t\left( {3 - 1} \right)}\\{y = 2 + t\left( {6 - 2} \right)}\\{z = 3 + t\left( { - 12 - 3} \right)}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1 + 2t}\\{y = 2 + 4t}\\{z = 3 - 15t}\end{array}} \right.\)

+) Tầm nhìn của người quan sát bị che khuất khi tấm bìa cứng chắn ngang đường thẳng \(MN\). Tấm bìa nằm trong mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\), tức là mặt phẳng \(z = 0\).

+)Giao điểm của đường thẳng \(MN\) với mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\) là điểm \(I\) có tọa độ \({z_I} = 0\).

\(3 - 15t = 0 \Leftrightarrow t = \frac{3}{{15}} = \frac{1}{5}\).

Thay \(t = \frac{1}{5}\) vào phương trình đường thẳng \(MN\), ta được tọa độ điểm \(I\left( {1,4;2,8;0} \right)\) là điểm trên mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\) mà đường nhìn \(MN\) đi qua.

+) Tấm bìa cứng có dạng hình tròn bán kính \(R = 2\). Nó bắt đầu từ gốc tọa độ và di chuyển theo hướng vector \(\vec j = \left( {0;1;0} \right)\) với tốc độ \(v = 5\left( {cm/s} \right)\).

Tại thời điểm \(t\) (giây), tâm của hình tròn là \(O{\rm{'}}\left( {0;vt;0} \right) = O{\rm{'}}\left( {0;5t;0} \right)\).

Tầm nhìn của người quan sát bị che khuất khi điểm \(I\) nằm trong hoặc trên đường biên của hình tròn di động.

Điều này xảy ra khi khoảng cách từ \(I\) đến \(O{\rm{'}}\left( {0;5t;0} \right)\) nhỏ hơn hoặc bằng bán kính \(R = 2\).

\(d\left( {I,O{\rm{'}}} \right) \le R\)

\(\sqrt {{{\left( {1,4 - 0} \right)}^2} + {{\left( {2,8 - 5t} \right)}^2} + {{\left( {0 - 0} \right)}^2}} \le 2\)\( \Leftrightarrow - 4,2282856 \le - 5t \le - 1,3717144\)

\( \Leftrightarrow 0,27434288 \le t \le 0,84565712\)

Khoảng thời gian tầm nhìn bị che khuất là:

\(\Delta t = 0,84565712 - 0,27434288 = 0,57131424\) (giây)

Làm tròn kết quả đến hàng phần trăm, ta được \(\Delta t \approx 0,57\) (giây).

Đáp án: 9,24.

Gắn hệ trục tọa độ \(Oxyz\) như hình vẽ với điểm \(A\) trùng gốc tọa độ.

Ta có: \(A\left( {0;0;0} \right)\), \(B\left( {4;0;0} \right)\), \(C\left( {4;4;0} \right)\), \(D\left( {0;4;0} \right)\) và giả sử \(S\left( {x;y;z} \right)\).

Do \(\Delta SAB\) đều nên \[\left\{ \begin{array}{l}SA = SB\\SA = 4\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} + {y^2} + {z^2} = {\left( {4 - x} \right)^2} + {y^2} + {z^2}\\{x^2} + {y^2} + {z^2} = 16\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2\\{y^2} + {z^2} = 12\end{array} \right.\].

Tương tự, \[\Delta SCD\] vuông cân tại \(S\) nên \[SC = SD = \frac{{CD}}{{\sqrt 2 }} = \frac{4}{{\sqrt 2 }} = 2\sqrt 2 \]

\[ \Rightarrow {x^2} + {\left( {4 - y} \right)^2} + {z^2} = 8 \Rightarrow {\left( {4 - y} \right)^2} + {z^2} = 4 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{y^2} + {z^2} = 12\\{\left( {4 - y} \right)^2} + {z^2} = 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 3\\z = \pm \sqrt 3 \end{array} \right.\].

Vậy \[S\left( {2;3;\sqrt 3 } \right)\] hoặc \[S\left( {2;3; - \sqrt 3 } \right)\] nên chiều cao của khối chóp \(S.ABCD\) là \[\left| {{z_S}} \right| = \sqrt 3 \].

Khi đó: \[V = \frac{1}{3} \times {S_{ABCD}} \times h = \frac{1}{3} \times {4^2} \times \sqrt 3 = \frac{{16\sqrt 3 }}{3} \approx 9,24\] (đvtt).