Ông Tư có khu đất trống dọc bờ sông. Dịp này ông bỏ ra \[15\] triệu đồng làm hàng rào hình chữ E để phân làm hai mảnh vườn hình chữ nhật bằng nhau trồng rau và trồng hoa. Đối với mặt hàng rào song song bờ sông thì chi phí nguyên vật liệu là \[60.000\] đồng một mét, còn đối với ba mặt hàng rào song song nhau thì chi phí nguyên vật liệu là \[50.000\] đồng một mét. Tìm diện tích lớn nhất của khu vườn thu được.

Ta có \(\Delta  = {(3 - m)^2} - 4( - 2m + 3) = {m^2} + 2m - 3\)

- Nếu \(m = 1\) thì bpt trở thành \({x^2} + 2x + 1 > 0 \Leftrightarrow {(x + 1)^2} > 0 \Leftrightarrow x \ne  - 1\) thỏa mãn.

- Nếu \(m =  - 3\) thì bpt trở thành \({x^2} + 6x + 9 > 0 \Leftrightarrow {(x + 3)^2} > 0 \Leftrightarrow x \ne  - 3\) thỏa mãn

- Nếu \( - 3 < m < 1\) thì \(\Delta  < 0\) mà hệ số \(a = 1 > 0\) nên \({x^2} + (3 - m)x - 2m + 3 > 0,\forall x \in \mathbb{R}\)

Suy ra tập nghiệm của bpt là \(\mathbb{R}\) (thỏa mãn).

- Nếu \(\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{m <  - 3}\\{m > 1}\end{array}} \right.\) thì \(\Delta  > 0\) nên phương trình \({x^2} + (3 - m)x - 2m + 3 = 0\) có hai nghiệm.

Do đó ta có tập nghiệm của \({x^2} + (3 - m)x - 2m + 3 > 0\) là

\(S = \left( { - \infty ;\frac{{ - 3 + m - \sqrt {{m^2} + 2m - 3} }}{2}} \right) \cup \left( {\frac{{ - 3 + m + \sqrt {{m^2} + 2m - 3} }}{2}; + \infty } \right){\rm{. }}\)

Bất phương trình nghiệm đúng với mọi \(x \le  - 4\) khi và chi khi \(( - \infty ; - 4] \subset \left( { - \infty ;\frac{{ - 3 + m - \sqrt {{m^2} + 2m - 3} }}{2}} \right)\)

\( \Leftrightarrow  - 4 < \frac{{ - 3 + m - \sqrt {{m^2} + 2m - 3} }}{2} \Leftrightarrow \sqrt {{m^2} + 2m - 3}  < m + 5\)\(\)

\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}\begin{array}{l}m >  - 5 \vee m > 1\\m >  - 5m >  - \frac{7}{2}\end{array}\end{array} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}\begin{array}{l} - \frac{7}{2} < m <  - 3\\m > 1\end{array}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}\begin{array}{l}{m^2} + 2m - 3 > 0\\m + 5 > 0\\{m^2} + 2m - 3 < {(11 - m)^2}\end{array}\end{array}} \right.} \right.} \right.\)

Kết hợp các trường hợp ta được \(m >  - \frac{7}{2}\) là giá trị cần tìm thỏa mãn yêu cầu bài toán.

a) Đồ thị hàm số \(y = f(x)\) cắt trục hoành tại hai điểm \(( - 2;0)\) và \((2;0)\) nên tam thức bậc hai \(f(x)\) có hai nghiệm là \({x_1} =  - 2,{x_2} = 2\). Đồ thị có bề lõm quay lên trên nên hệ số \(a > 0\). Do đó, ta có bảng xét dấu sau:

b) Đồ thị hàm số \(y = g(x)\) cắt trục hoành tại hai điểm \((3;0)\) và \((4;0)\) nên tam

thức bậc hai \(f(x)\) có hai nghiệm là \({x_1} = 3,{x_2} = 4\). Đồ thị có bề lõm quay xuống dưới nên hệ số \(a < 0\). Do đó, ta có bảng xét dấu sau: