Ông Tư có khu đất trống dọc bờ sông. Dịp này ông bỏ ra \[15\] triệu đồng làm hàng rào hình chữ E để phân làm hai mảnh vườn hình chữ nhật bằng nhau trồng rau và trồng hoa. Đối với mặt hàng rào song song bờ sông thì chi phí nguyên vật liệu là \[60.000\] đồng một mét, còn đối với ba mặt hàng rào song song nhau thì chi phí nguyên vật liệu là \[50.000\] đồng một mét. Tìm diện tích lớn nhất của khu vườn thu được.

Vi \({m^2} + 2 > 0\) nên yêu câu bài toán \( \Leftrightarrow \left( {{m^2} + 2} \right){x^2} - 2(m + 1)x + 1 > 0,\forall x \in \mathbb{R}\).

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{\Delta ^\prime } < 0}\\{a > 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{{(m + 1)}^2} - \left( {{m^2} + 2} \right) < 0}\\{{m^2} + 2 > 0}\end{array} \Leftrightarrow {{(m + 1)}^2} - \left( {{m^2} + 2} \right) < 0} \right.} \right.\\ \Leftrightarrow 2m < 1 \Leftrightarrow m < \frac{1}{2}{\rm{.}}\end{array}\)

Vậy \(m < \frac{1}{2}\) thỏa mãn

Hàm số xác định \( \Leftrightarrow (m + 10){x^2} - 2(m - 2)x + 1 \ge 0(*)\).

Hàm số có tập xác định \(D = \mathbb{R}\) khi và chỉ khi \(\left( * \right)\) đúng với \(\forall x \in \mathbb{R}\).

+) \(m =  - 10:\left( * \right)\) trở thành: \(24x + 1 \ge 0\) không đúng với \(\forall x \in \mathbb{R}\).

Suy ra \(m =  - 10\) loại.

+) \(m \ne  - 10:(*)\) đúng với \(\forall x \in \mathbb{R} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a < 0}\\{{\Delta ^\prime } \le 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{m + 10 > 0}\\{{{(m - 2)}^2} - (m + 10) \le 0}\end{array}} \right.} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}\begin{array}{l}{m^2} - 5m - 6 \le 0\\m >  - 10\end{array}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}\begin{array}{l} - 1 \le m \le 6\\m >  - 10\end{array}\end{array} \Leftrightarrow  - 1 \le m \le 6.} \right.} \right.\)

Vậy với \( - 1 \le m \le 6\) thì hàm số đã cho có tập xác định \(D = \mathbb{R}\).