Tìm \(m\) để biểu thức sau luôn dương \(f(x) = \left( {{m^2} + 2} \right){x^2} - 2(m + 1)x + 1\);

Ta có \(\Delta  = {(3 - m)^2} - 4( - 2m + 3) = {m^2} + 2m - 3\)

- Nếu \(m = 1\) thì bpt trở thành \({x^2} + 2x + 1 > 0 \Leftrightarrow {(x + 1)^2} > 0 \Leftrightarrow x \ne  - 1\) thỏa mãn.

- Nếu \(m =  - 3\) thì bpt trở thành \({x^2} + 6x + 9 > 0 \Leftrightarrow {(x + 3)^2} > 0 \Leftrightarrow x \ne  - 3\) thỏa mãn

- Nếu \( - 3 < m < 1\) thì \(\Delta  < 0\) mà hệ số \(a = 1 > 0\) nên \({x^2} + (3 - m)x - 2m + 3 > 0,\forall x \in \mathbb{R}\)

Suy ra tập nghiệm của bpt là \(\mathbb{R}\) (thỏa mãn).

- Nếu \(\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{m <  - 3}\\{m > 1}\end{array}} \right.\) thì \(\Delta  > 0\) nên phương trình \({x^2} + (3 - m)x - 2m + 3 = 0\) có hai nghiệm.

Do đó ta có tập nghiệm của \({x^2} + (3 - m)x - 2m + 3 > 0\) là

\(S = \left( { - \infty ;\frac{{ - 3 + m - \sqrt {{m^2} + 2m - 3} }}{2}} \right) \cup \left( {\frac{{ - 3 + m + \sqrt {{m^2} + 2m - 3} }}{2}; + \infty } \right){\rm{. }}\)

Bất phương trình nghiệm đúng với mọi \(x \le  - 4\) khi và chi khi \(( - \infty ; - 4] \subset \left( { - \infty ;\frac{{ - 3 + m - \sqrt {{m^2} + 2m - 3} }}{2}} \right)\)

\( \Leftrightarrow  - 4 < \frac{{ - 3 + m - \sqrt {{m^2} + 2m - 3} }}{2} \Leftrightarrow \sqrt {{m^2} + 2m - 3}  < m + 5\)\(\)

\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}\begin{array}{l}m >  - 5 \vee m > 1\\m >  - 5m >  - \frac{7}{2}\end{array}\end{array} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}\begin{array}{l} - \frac{7}{2} < m <  - 3\\m > 1\end{array}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}\begin{array}{l}{m^2} + 2m - 3 > 0\\m + 5 > 0\\{m^2} + 2m - 3 < {(11 - m)^2}\end{array}\end{array}} \right.} \right.} \right.\)

Kết hợp các trường hợp ta được \(m >  - \frac{7}{2}\) là giá trị cần tìm thỏa mãn yêu cầu bài toán.

a) Đồ thị hàm số \(y = f(x)\) cắt trục hoành tại hai điểm \(( - 2;0)\) và \((2;0)\) nên tam thức bậc hai \(f(x)\) có hai nghiệm là \({x_1} =  - 2,{x_2} = 2\). Đồ thị có bề lõm quay lên trên nên hệ số \(a > 0\). Do đó, ta có bảng xét dấu sau:

b) Đồ thị hàm số \(y = g(x)\) cắt trục hoành tại hai điểm \((3;0)\) và \((4;0)\) nên tam

thức bậc hai \(f(x)\) có hai nghiệm là \({x_1} = 3,{x_2} = 4\). Đồ thị có bề lõm quay xuống dưới nên hệ số \(a < 0\). Do đó, ta có bảng xét dấu sau: