Cho tam thức bậc hai \(f\left( x \right) = \left( {m + 1} \right){x^2} - 2\left( {m + 1} \right)x + 2m + 4\). Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m \in \left[ { - 5;5} \right]\) để \(f\left( x \right) < 0\) vô nghiệm

\(f\left( x \right) < 0\) vô nghiệm \( \Leftrightarrow f\left( x \right) \ge 0,\,\,\forall x \in \mathbb{R}\).

TH1: \(m =  - 1\). Ta có: \(f\left( x \right) = 2 \ge 0,\,\,\forall x \in \mathbb{R}\,\)(luôn đúng) \( \Rightarrow \)nhận \(m =  - 1\)

TH2: \(m \ne  - 1\). \(ycbt \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m + 1 > 0\\{\left[ { - \left( {m + 1} \right)} \right]^2} - \left( {m + 1} \right)\left( {2m + 4} \right) \le 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m >  - 1\\\left[ \begin{array}{l}m \ge  - 1\\m \le  - 3\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow m >  - 1\).

Từ TH1 và TH2 ta có \(m \ge  - 1\) thỏa yêu cầu bài toán.

Mà \(m \in \left[ { - 5;5} \right]\) nên \( - 1 \le m \le 5\) hay có 7 giá trị \(m\) thỏa yêu cầu bài toán.