Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m\) để bất phương trình sau có nghiệm đúng \(\forall x \in \mathbb{R}\)?

\( - 9 < \frac{{3{x^2} + mx - 6}}{{{x^2} - x + 1}} < 6\)

Tam thức bậc hai \(f(x) = {x^2} - 3x + 2\) có \(\Delta  = 1 > 0,a = 1 > 0\) và có hai nghiệm \({x_1} = 1;{x_2} = 2\).

Tam thức bậc hai \(g(x) =  - {x^2} + 5x - 6\) có \(\Delta  = 1 > 0,a =  - 1 < 0\) và có hai nghiệm \({x_1} = 2;{x_2} = 3\)

Ta có bảng xét dấu sau:

Suy ra \(f(x) \cdot g(x) \ge 0\) khi \(x \in [1;3]\).

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là \(S = [1;3]\).

Để hàm số \(y = \frac{1}{{\sqrt {2{x^2} - (2m - 1)x + 1} }}\) có tập xác định là \(\mathbb{R}\) thì \(2{x^2} - (2m - 1)x + 1 > 0\) đúng \(\forall x \in \mathbb{R}\) khi và chỉ khi \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a > 0}\\{\Delta  < 0}\end{array}} \right.\) Ta có: \(a = 2 > 0\) và\(\Delta  = {(2m - 1)^2} - 4.2.1 < 0 \Leftrightarrow 4{m^2} - 4m - 7 < 0\).

Tam thức \(4{m^2} - 4m - 7\) có hai nghiệm \(m = \frac{{1 - 2\sqrt 2 }}{2}\) và \(m = \frac{{1 + 2\sqrt 2 }}{2}\) và hệ số của \({m^2}\) bằng 4 lớn hơn 0 nên \(4{m^2} - 4m - 7 < 0\) khi \(\frac{{1 - 2\sqrt 2 }}{2} < m < \frac{{1 + 2\sqrt 2 }}{2}\).

Vậy để hàm số \(y = \frac{1}{{\sqrt {2{x^2} - (2m - 1)x + 1} }}\) có tập xác định là \(\mathbb{R}\) thì \(m \in \left[ {\frac{{1 - 2\sqrt 2 }}{2};\frac{{1 + 2\sqrt 2 }}{2}} \right]{\rm{. }}\)