Tìm \(m\) để phương trình \((m + 1){x^2} - 2(m + 1)x - m + 2 = 0\) vô nghiệm.

Tam thức bậc hai \(f(x) = {x^2} - 3x + 2\) có \(\Delta  = 1 > 0,a = 1 > 0\) và có hai nghiệm \({x_1} = 1;{x_2} = 2\).

Tam thức bậc hai \(g(x) =  - {x^2} + 5x - 6\) có \(\Delta  = 1 > 0,a =  - 1 < 0\) và có hai nghiệm \({x_1} = 2;{x_2} = 3\)

Ta có bảng xét dấu sau:

Suy ra \(f(x) \cdot g(x) \ge 0\) khi \(x \in [1;3]\).

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là \(S = [1;3]\).

Ta có \( - {x^2} + 2x - 5 =  - {(x - 1)^2} - 4 < 0,\forall x \in \mathbb{R}\). Nên \(\frac{{ - {x^2} + 2x - 5}}{{{x^2} - mx + 1}} \le 0,\forall x \in \mathbb{R}\)

\( \Leftrightarrow {x^2} - mx + 1 > 0,\forall x \in \mathbb{R} \Leftrightarrow \Delta  = {m^2} - 4 \le 0 \Leftrightarrow m \in [ - 2;2]{\rm{. }}\)