Cho phương trình \(4{x^2} + \sqrt {2x + 3}  = 8x + 1\). Khi đó:

\(\sqrt {2{x^2} - 2x - 2m}  = x - 2 \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}\begin{array}{l}{\rm{ }}x - 2 \ge 0\\2{x^2} - 2x - 2m = {(x - 2)^2}\end{array}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}\begin{array}{l}x \ge 2\\{x^2} + 2x - 4 = 2m(*)\end{array}\end{array}} \right.} \right.{\rm{. }}\)

Xét hàm số \(f(x) = {x^2} + 2x - 4,(x \ge 2)\)

Phương trình đã cho có nghiệm \( \Leftrightarrow (*)\) có nghiệm \(x \ge 2 \Leftrightarrow 2m \ge 4 \Leftrightarrow m \ge 2\).

Ta có \(1\;h14\) phút \( = \frac{{37}}{{30}}(\;h)\). Gọi \(AM = x(\;km)(x > 6)\) Suy ra thời gian đi từ \(A\) đến \(M\) là \(\frac{x}{{10}}(\;h)\). Khi đó \(BM = \sqrt {{x^2} - 36} \) và \(CM = 15 - \sqrt {{x^2} - 36} \).

Thời gian đi từ \(M\) đến \(C\) là \(\frac{{15 - \sqrt {{x^2} - 36} }}{{30}}\).

Theo giả thiết ta có phương trình: \(\frac{x}{{10}} + \frac{{15 - \sqrt {{x^2} - 36} }}{{30}} = \frac{{37}}{{30}}\).

Giải phương trình ta được \(x = 10(\;km)\)

Do đó tổng quảng đường phải đi là \(AM + MC = 10 + \left( {15 - \sqrt {{{10}^2} - 36} } \right) = 17(\;km)\)