Cho phương trình \(4{x^2} + \sqrt {2x + 3}  = 8x + 1\). Khi đó:

\(\sqrt {2{x^2} - 2x - 2m}  = x - 2 \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}\begin{array}{l}{\rm{ }}x - 2 \ge 0\\2{x^2} - 2x - 2m = {(x - 2)^2}\end{array}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}\begin{array}{l}x \ge 2\\{x^2} + 2x - 4 = 2m(*)\end{array}\end{array}} \right.} \right.{\rm{. }}\)

Xét hàm số \(f(x) = {x^2} + 2x - 4,(x \ge 2)\)

Phương trình đã cho có nghiệm \( \Leftrightarrow (*)\) có nghiệm \(x \ge 2 \Leftrightarrow 2m \ge 4 \Leftrightarrow m \ge 2\).

\(\sqrt {2{x^2} - 2mx - 4}  = x - 1 \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}\begin{array}{l}x \ge 1\\2{x^2} - 2mx - 4 = {x^2} - 2x + 1\end{array}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}\begin{array}{l}x \ge 1\\{x^2} - 2(m - 1)x - 5 = 0(*)\end{array}\end{array}} \right.\)

Do pt \((*)\) có \(ac =  - 5 < 0\) nên pt \((*)\) luôn có 2 nghiệm trái dấu.

Nên để pt đã cho có nghiệm thì pt \((*)\) có 2 nghiệm \({x_1},{x_2}\) thỏa mãn \({x_1} < 1 \le {x_2} \Leftrightarrow \left( {{x_1} - 1} \right)\left( {{x_2} - 1} \right) \le 0\)

\( \Leftrightarrow {x_1}{x_2} - \left( {{x_1} + {x_2}} \right) + 1 \le 0 \Leftrightarrow  - 5 - 2(m - 1) + 1 \le 0 \Leftrightarrow m \ge  - 1.{\rm{ }}\)

Vậy phương trình đã cho có nghiệm khi \(m \in [ - 1; + \infty )\).