Cho hình chóp \[S.ABCD\]có đáy \[ABCD\] là hình chữ nhật ,\[AB = 4,\,AD = 8\], \[SA\] vuông góc với đáy và \[SA = 4\sqrt 3 \]. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng \[SC\] và \[BD\] (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).

a) Đúng

\[\overrightarrow {DA} = \left( { - 1,3; - 0,7;0,7} \right)\] suy ra \[AD = \sqrt {{{\left( { - 1,3} \right)}^2} + {{\left( { - 0,7} \right)}^2} + 0,{7^2}} \approx 1,63\left( m \right)\].

b) Đúng

Ta có \(\overrightarrow {DB} = \left( {1,3; - 0,7;0,7} \right)\) và \[\overrightarrow u = \overrightarrow {DA} + \overrightarrow {DB} = \left( {0; - 1,4;1,4} \right)\]

Hợp lực \(\overrightarrow F \) sẽ cùng phương với \[\overrightarrow u = \left( {0; - 1,4;1,4} \right)\]. Vectơ chỉ phương của \(Oz\) là \(\overrightarrow k = \left( {0;\,0;\,1} \right)\)

Do \( - 1,4 \ne 0\) nên nó không song song với trục \(Oz\).

c) Đúng

Điều kiện cân bằng \(\overrightarrow F = \overrightarrow {{T_1}} + \overrightarrow {{T_2}} \).

Ta có: \[\overrightarrow {{T_1}} = 320 \cdot \frac{{\overrightarrow {DA} }}{{\left| {\overrightarrow {DA} } \right|}}\], \[\overrightarrow {{T_2}} = 320 \cdot \frac{{\overrightarrow {DB} }}{{\left| {\overrightarrow {DB} } \right|}}\], \(DA = DB = \sqrt {2,67} \).

Suy ra

\(\left| {\overrightarrow F } \right| = \left| {320 \cdot \frac{{\overrightarrow {DA} + \overrightarrow {DB} }}{{\sqrt {2,67} }}} \right| = \frac{{320}}{{\sqrt {2,67} }} \cdot \left| {\overrightarrow {DA} + \overrightarrow {DB} } \right| = \frac{{320}}{{\sqrt {2,67} }} \cdot \sqrt {{0^2} + {{\left( { - 1,4} \right)}^2} + 1,{4^2}} \approx 387,74\left( N \right)\).

d) Sai

Gọi vị trí mới của tay có tọa độ \(D'\left( {0;y;1,2} \right)\). Khi đó \(\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {D'A} = \left( { - 1,3; - y;0,7} \right)\\\overrightarrow {D'B} = \left( {1,3; - y;0,7} \right)\end{array} \right.\)

Để góc giữa hai dây bằng \(90^\circ \) thì \(\overrightarrow {D'A} \cdot \overrightarrow {D'B} = 0 \Leftrightarrow y_D^2 = 1,2 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{y_D} \approx 1,10\\{y_D} \approx - 1,10.\end{array} \right.\)

Vị trí đứng tập ở chiều dương nên \({y_D} = 1,10\left( m \right)\).

Đáp án: \(5,2\)

+) \(\overrightarrow {MN} \left( {1200;0;0} \right)\). Vecto vận tốc \(\overrightarrow {{v_1}} \left( {800;0;0} \right)\).

Tọa độ máy bay A tại thời điểm \(t\): \(A(t) = (800t;0;9)\)

+) \(\overrightarrow {PQ} = (600;200;0)\). Vecto vận tốc của nó là: \({\vec v_2} = (600;200;0)\)

Tọa độ của máy bay B tại thời điểm \(t\): \(B(t) = (103 + 600t; - 97 + 200t;12)\)

Ta có \(\overrightarrow {AB} (t) = (103 - 200t;200t - 97;3)\)

Bình phương khoảng cách giữa hai máy bay là

\(f(t) = |\overrightarrow {AB} (t){|^2} = {(103 - 200t)^2} + {(200t - 97)^2} + {3^2}\)

\(f'(t) = - 41200 + 80000t + 80000t - 38800 = 160000t - 80000\)

\(f'(t) = 0 \Leftrightarrow 160000t = 80000 \Leftrightarrow t = 0,5\) (giờ),

Tại thời điểm \(t = 0,5 \Rightarrow \overrightarrow {AB} \left( {3;3;3} \right)\).

Khoảng cách thực tế ngắn nhất là: \(d = \sqrt {{3^2} + {3^2} + {3^2}} = \sqrt {27} \approx 5,1961...\)

Làm tròn đến hàng phần trăm, ta được kết quả: 5,2.