Trong không gian \[Oxyz\] (mỗi đơn vị trên trục tương ứng 1 km), tại thời điểm 8 giờ sáng, hai máy bay A và B có vị trí và lộ trình chuyển động như sau:

Máy bay A: Đang ở vị trí \(M(0;0;9)\), bay thẳng đều theo hướng đến điểm \(N(1200;0;9)\) với tốc độ hành trình \({v_1} = 800\) km/h.

Máy bay B: Đang ở vị trí \(P(103; - 97;12)\), bay thẳng đều theo hướng đến điểm \(Q(703;103;12)\) với tốc độ hành trình \({v_2} = 200\sqrt {10} \) km/h.

Hãy xác định khoảng cách ngắn nhất giữa máy bay A và máy bay B trong quá trình bay (làm tròn kết quả đến hàng phần mười, đơn vị: km).

a) Đúng

\[\overrightarrow {DA} = \left( { - 1,3; - 0,7;0,7} \right)\] suy ra \[AD = \sqrt {{{\left( { - 1,3} \right)}^2} + {{\left( { - 0,7} \right)}^2} + 0,{7^2}} \approx 1,63\left( m \right)\].

b) Đúng

Ta có \(\overrightarrow {DB} = \left( {1,3; - 0,7;0,7} \right)\) và \[\overrightarrow u = \overrightarrow {DA} + \overrightarrow {DB} = \left( {0; - 1,4;1,4} \right)\]

Hợp lực \(\overrightarrow F \) sẽ cùng phương với \[\overrightarrow u = \left( {0; - 1,4;1,4} \right)\]. Vectơ chỉ phương của \(Oz\) là \(\overrightarrow k = \left( {0;\,0;\,1} \right)\)

Do \( - 1,4 \ne 0\) nên nó không song song với trục \(Oz\).

c) Đúng

Điều kiện cân bằng \(\overrightarrow F = \overrightarrow {{T_1}} + \overrightarrow {{T_2}} \).

Ta có: \[\overrightarrow {{T_1}} = 320 \cdot \frac{{\overrightarrow {DA} }}{{\left| {\overrightarrow {DA} } \right|}}\], \[\overrightarrow {{T_2}} = 320 \cdot \frac{{\overrightarrow {DB} }}{{\left| {\overrightarrow {DB} } \right|}}\], \(DA = DB = \sqrt {2,67} \).

Suy ra

\(\left| {\overrightarrow F } \right| = \left| {320 \cdot \frac{{\overrightarrow {DA} + \overrightarrow {DB} }}{{\sqrt {2,67} }}} \right| = \frac{{320}}{{\sqrt {2,67} }} \cdot \left| {\overrightarrow {DA} + \overrightarrow {DB} } \right| = \frac{{320}}{{\sqrt {2,67} }} \cdot \sqrt {{0^2} + {{\left( { - 1,4} \right)}^2} + 1,{4^2}} \approx 387,74\left( N \right)\).

d) Sai

Gọi vị trí mới của tay có tọa độ \(D'\left( {0;y;1,2} \right)\). Khi đó \(\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {D'A} = \left( { - 1,3; - y;0,7} \right)\\\overrightarrow {D'B} = \left( {1,3; - y;0,7} \right)\end{array} \right.\)

Để góc giữa hai dây bằng \(90^\circ \) thì \(\overrightarrow {D'A} \cdot \overrightarrow {D'B} = 0 \Leftrightarrow y_D^2 = 1,2 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{y_D} \approx 1,10\\{y_D} \approx - 1,10.\end{array} \right.\)

Vị trí đứng tập ở chiều dương nên \({y_D} = 1,10\left( m \right)\).

Đáp án: 370

Gọi diện tích trồng bưởi da xanh và cam sành lần lượt là \(x,y\,\,\left( {x,y \ge 0} \right)\), đơn vị: ha.

Lập luận để tìm ra hệ bất phương trình:

Do trang trại quy hoạch trồng bưởi da xanh và cam sành trên tổng diện tích tối đa là 10 ha nên \(x + y \le 10\).

Để trồng 1 ha bưởi da xanh cần 20 công lao động và 1 ha cam sành cần 10 công lao động, mà trang trại hiện có tối đa 160 công lao động nên \(20x + 10y \le 160\)\( \Leftrightarrow 2x + y \le 16\).

Để trồng 1 ha bưởi da xanh cần 20 triệu đồng tiền vốn và 1 ha cam sành cần 30 triệu đồng tiền vốn, mà trang trại hiện có nguồn vốn đầu tư không vượt quá 270 triệu đồng nên \(20x + 30y \le 270\)\( \Leftrightarrow 2x + 3y \le 27\).

Lợi nhuận thu được ước tính là 30 triệu/ha bưởi da xanh và 40 triệu/ha cam sành nên ta có hàm lợi nhuận là: \(F\left( {x,y} \right) = 30x + 40y\) (triệu đồng).

Khi đó bài toán trở thành: Cho hệ bất phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\y \ge 0\\x + y \le 10\\2x + y \le 16\\2x + 3y \le 27\end{array} \right.\). Tìm GTLN của \(F\left( {x,y} \right) = 30x + 40y\).

Biểu diễn miền nghiệm là ngũ giác \(OABCD\) (phần màu xám) kể cả bờ với \(O\left( {0;0} \right),A\left( {0;9} \right),B\left( {3;7} \right),C\left( {6;4} \right),D\left( {8;0} \right)\).

Ta tính được F lớn nhất tại B: \(F\left( B \right) = 30 \cdot 3 + 40 \cdot 7 = 370\).