Một hãng công nghệ dự định tung ra thị trường một loại tai nghe không dây mới. Chi phí sản xuất mỗi chiếc tai nghe là 500 nghìn đồng với giá bán ra niêm yết là \(1,2\) triệu đồng. Bộ phận bán hàng ước tính rằng, số lượng tai nghe bán ra được \(n\,(x)\) phụ thuộc vào chi phí quảng cáo \(x\) (đơn vị: triệu đồng) theo công thức \(n\,(x) = A + 30.\ln (1 + x)\). Biết rằng nếu chi \(\left( {{e^3} - 1} \right)\) triệu đồng cho quảng cáo thì bán được190 sản phẩm.

a) Đúng

\[\overrightarrow {DA} = \left( { - 1,3; - 0,7;0,7} \right)\] suy ra \[AD = \sqrt {{{\left( { - 1,3} \right)}^2} + {{\left( { - 0,7} \right)}^2} + 0,{7^2}} \approx 1,63\left( m \right)\].

b) Đúng

Ta có \(\overrightarrow {DB} = \left( {1,3; - 0,7;0,7} \right)\) và \[\overrightarrow u = \overrightarrow {DA} + \overrightarrow {DB} = \left( {0; - 1,4;1,4} \right)\]

Hợp lực \(\overrightarrow F \) sẽ cùng phương với \[\overrightarrow u = \left( {0; - 1,4;1,4} \right)\]. Vectơ chỉ phương của \(Oz\) là \(\overrightarrow k = \left( {0;\,0;\,1} \right)\)

Do \( - 1,4 \ne 0\) nên nó không song song với trục \(Oz\).

c) Đúng

Điều kiện cân bằng \(\overrightarrow F = \overrightarrow {{T_1}} + \overrightarrow {{T_2}} \).

Ta có: \[\overrightarrow {{T_1}} = 320 \cdot \frac{{\overrightarrow {DA} }}{{\left| {\overrightarrow {DA} } \right|}}\], \[\overrightarrow {{T_2}} = 320 \cdot \frac{{\overrightarrow {DB} }}{{\left| {\overrightarrow {DB} } \right|}}\], \(DA = DB = \sqrt {2,67} \).

Suy ra

\(\left| {\overrightarrow F } \right| = \left| {320 \cdot \frac{{\overrightarrow {DA} + \overrightarrow {DB} }}{{\sqrt {2,67} }}} \right| = \frac{{320}}{{\sqrt {2,67} }} \cdot \left| {\overrightarrow {DA} + \overrightarrow {DB} } \right| = \frac{{320}}{{\sqrt {2,67} }} \cdot \sqrt {{0^2} + {{\left( { - 1,4} \right)}^2} + 1,{4^2}} \approx 387,74\left( N \right)\).

d) Sai

Gọi vị trí mới của tay có tọa độ \(D'\left( {0;y;1,2} \right)\). Khi đó \(\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {D'A} = \left( { - 1,3; - y;0,7} \right)\\\overrightarrow {D'B} = \left( {1,3; - y;0,7} \right)\end{array} \right.\)

Để góc giữa hai dây bằng \(90^\circ \) thì \(\overrightarrow {D'A} \cdot \overrightarrow {D'B} = 0 \Leftrightarrow y_D^2 = 1,2 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{y_D} \approx 1,10\\{y_D} \approx - 1,10.\end{array} \right.\)

Vị trí đứng tập ở chiều dương nên \({y_D} = 1,10\left( m \right)\).

Đáp án: 370

Gọi diện tích trồng bưởi da xanh và cam sành lần lượt là \(x,y\,\,\left( {x,y \ge 0} \right)\), đơn vị: ha.

Lập luận để tìm ra hệ bất phương trình:

Do trang trại quy hoạch trồng bưởi da xanh và cam sành trên tổng diện tích tối đa là 10 ha nên \(x + y \le 10\).

Để trồng 1 ha bưởi da xanh cần 20 công lao động và 1 ha cam sành cần 10 công lao động, mà trang trại hiện có tối đa 160 công lao động nên \(20x + 10y \le 160\)\( \Leftrightarrow 2x + y \le 16\).

Để trồng 1 ha bưởi da xanh cần 20 triệu đồng tiền vốn và 1 ha cam sành cần 30 triệu đồng tiền vốn, mà trang trại hiện có nguồn vốn đầu tư không vượt quá 270 triệu đồng nên \(20x + 30y \le 270\)\( \Leftrightarrow 2x + 3y \le 27\).

Lợi nhuận thu được ước tính là 30 triệu/ha bưởi da xanh và 40 triệu/ha cam sành nên ta có hàm lợi nhuận là: \(F\left( {x,y} \right) = 30x + 40y\) (triệu đồng).

Khi đó bài toán trở thành: Cho hệ bất phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\y \ge 0\\x + y \le 10\\2x + y \le 16\\2x + 3y \le 27\end{array} \right.\). Tìm GTLN của \(F\left( {x,y} \right) = 30x + 40y\).

Biểu diễn miền nghiệm là ngũ giác \(OABCD\) (phần màu xám) kể cả bờ với \(O\left( {0;0} \right),A\left( {0;9} \right),B\left( {3;7} \right),C\left( {6;4} \right),D\left( {8;0} \right)\).

Ta tính được F lớn nhất tại B: \(F\left( B \right) = 30 \cdot 3 + 40 \cdot 7 = 370\).