Lớp 12B11 có 40 học sinh. Thời gian tự học tại nhà hàng ngày của các học sinh trong lớp được thống kê trong bảng sau:

Đáp án: 9.

Gọi \(H = (1,1,0)\) và \(K = (10,13,0)\) là hình chiếu của \(A\) và \(B\) lên mặt phẳng \(Oxy\).

Có \(S = AM + BN = \sqrt {A{H^2} + H{M^2}} + \sqrt {B{K^2} + N{K^2}} = \sqrt {9 + H{M^2}} + \sqrt {36 + N{K^2}} \). Khi đó để \({S_{\min }}\) thì \(H,M,N,K\) theo thứ tự thẳng hàng.

Ta có: \(\overrightarrow {HK} = (9,12,0)\); \(|\overrightarrow {HK} | = \sqrt {{9^2} + {{12}^2}} = 15\).

Do \(MN = 5\), nên \(\overrightarrow {MN} = \frac{5}{{15}}\overrightarrow {HK} = (3,4,0)\).

Gọi \(A'\left( {1;1; - 3} \right)\) là điểm đối xứng của \(A\left( {1;1;3} \right)\) qua \(\left( {Oxy} \right)\).

Gọi \(C\) là điểm thỏa mãn \(\overrightarrow {A'C} = \overrightarrow {MN} \). Suy ra \(C\left( {4;5; - 3} \right)\) và \(A'CNM\) là hình bình hành.

Có: \(\left\{ \begin{array}{l}AM = A'M\\A'M = CN\end{array} \right.\) suy ra \(AM = CN\).

Khi đó: \(S = AM + BN = CN + BN \ge BC\). Dấu “=” xảy ra khi \(B,N,C\)thẳng hàng.

Có\(\overrightarrow {BC} = \left( {6;8;9} \right)\), phương trình đường thẳng \(BC:\left\{ \begin{array}{l}x = 10 + 6t\\y = 13 + 8t\\z = 6 + 9t\end{array} \right.\).

Vì \(N = BC \cap \left( {Oxy} \right)\) nên \(6 + 9t = 0 \Leftrightarrow t = \frac{{ - 2}}{3} \Rightarrow N\left( {6;\frac{{23}}{3};0} \right)\).

Lại có \(\overrightarrow {MN} = \left( {3;4;0} \right)\) nên \[\left\{ \begin{array}{l}6 - {x_M} = 3\\\frac{{23}}{3} - {y_M} = 4\\{z_M} = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_M} = 3\\{y_M} = \frac{{11}}{3}\\{z_M} = 0\end{array} \right.\] suy ra \[M\left( {3;\frac{{11}}{3};0} \right)\].

Vậy \[{x_M} + {x_N} = 9\].

Đáp án: 16.

Số cách chọn ngẫu nhiên 4 số từ 12 số và xếp vào các vòng tròn là \(n(\Omega ) = C_{12}^4.4 = 1980\) (vì chọn 4 số có \(C_{12}^4\) cách, sau đó chọn 1 trong 4 số đó đặt vào vòng tròn lớn có 4 cách, 3 số còn lại vào 3 vòng tròn nhỏ không phân biệt vị trí nên chỉ có 1 cách xếp).

Gọi số ở vòng tròn lớn là \(a\), và ba số ở vòng tròn nhỏ là \(x,y,z\) với \(x < y < z\).

Theo điều kiện bài toán ta có hệ: \(\left\{ \begin{array}{l}y + z < a\\x + y + z > a\end{array} \right. \Leftrightarrow y + z < a < x + y + z\).

Ta cần tìm các bộ số \((a;x,y,z)\) sao cho: \(y + z < a < x + y + z\).

Trường hợp 1: Nếu \[x = 1\] thì \(y + z < a < y + z + 1\) thì không tồn tại số \(a\) nguyên.

Trường hợp 2: Nếu \[x = 2\] thì

\[\left\{ \begin{array}{l}y + z < a < y + z + 2 \Rightarrow a = y + z + 1 \le 12 \Rightarrow y + z \le 11\\\min \left( {y + z} \right) = 7\end{array} \right. \Rightarrow 7 \le y + z \le 11\].

Suy ra có có 9 bộ thỏa mãn.

Trường hợp 3: Nếu \[x = 3\] thì \[\left\{ \begin{array}{l}y + z < a < y + z + 3 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}a = y + z + 1 \le 12 \Rightarrow y + z \le 11\\a = y + z + 2 \le 12 \Rightarrow y + z \le 10\end{array} \right.\\\min \left( {y + z} \right) = 9\end{array} \right.\]

Trường hợp 3.1: \[a = y + z + 1\]. khi đó \[9 \le y + z \le 11 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}y + z = 11\\y + z = 10\\y + z = 9\end{array} \right.\]

Suy ra có 4 bộ thỏa mãn.

Trường hợp 3.2: \[a = y + z + 2\]. khi đó \[9 \le y + z \le 10 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}y + z = 10\\y + z = 9\end{array} \right.\]

Suy ra có 2 bộ thỏa mãn

Trường hợp 4: Nếu \[x = 4\] thì \[\left\{ \begin{array}{l}y + z < a < y + z + 4 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}a = y + z + 1 \le 12 \Rightarrow y + z \le 11\\a = y + z + 2 \le 12 \Rightarrow y + z \le 10\\a = y + z + 3 \le 12 \Rightarrow y + z \le 9\end{array} \right.\\\min \left( {y + z} \right) = 11\end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}11 \le y + z \le 11\\11 \le y + z \le 10\\11 \le y + z \le 9\end{array} \right. \Rightarrow y + z = 11\]

Suy ra có 1 bộ thỏa mãn.

Tổng số trường hợp thuận lợi là \(n(A) = 16\).

Xác suất \(P = \frac{{n(A)}}{{n(\Omega )}} = \frac{{16}}{{1980}}\).

Giá trị cần tìm là \(1980P = 1980.\frac{{16}}{{1980}} = 16\).