Cho hàm số \(y = \frac{{x + 4}}{{x - 3}}\). Điểm \(M\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) (với \({y_0} > 0\)) thuộc đồ thị hàm số \(y = \frac{{x + 4}}{{x - 3}}\) sao cho tiếp tuyến tại \(M\) cắt các trục \[Ox,\,Oy\] lần lượt tại \(A\) và \(B\) thỏa mãn \(AB = 5 \cdot OA\sqrt 2 \). Tính giá trị của biểu thức \(T = 2{{\rm{x}}_0} + {y_0}\) (nhập đáp án vào ô trống).

Ta có: \(\Delta OAB\) vuông tại \(O\) ta có: \(\tan \widehat {BAO} = \frac{{OB}}{{OA}} = \frac{{\sqrt {A{B^2} - O{A^2}} }}{{OA}} = 7\).

Gọi \(k\) là hệ số góc của tiếp tuyến tại \(M\) của đồ thị hàm số \(y = \frac{{x + 4}}{{x - 3}}\), ta có: \(k =  \pm 7\).

Ta có: \(y' = \frac{{ - 7}}{{{{\left( {x - 3} \right)}^2}}}\)\( \Rightarrow y'\left( {{x_0}} \right) = \frac{{ - 7}}{{{{\left( {{x_0} - 3} \right)}^2}}} =  \pm 7 \Leftrightarrow {\left( {{x_0} - 3} \right)^2} = 1 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x_0} = 4\\{x_0} = 2\end{array} \right.\).

Với \({x_0} = 4\) thì \({y_0} = \frac{{4 + 4}}{{4 - 3}} = 8\) > 0 (thỏa mãn). Suy ra \(M\left( {4;8} \right) \Rightarrow T = 16\).

Với \({x_0} = 2\) thì \({y_0} = \frac{{2 + 4}}{{2 - 3}} =  - 6 < 0\) (loại).

Đáp án cần nhập là: \(16\).