Trong không gian với hệ trục tọa độ \(Oxyz\), cho mặt phẳng \(\left( \alpha  \right):2x + 6y - 3z - 1 = 0\) và ba điểm \[A\left( {1\,;\,\, - 1\,;\,\, - 5} \right),\,\,B\left( {0\,;\,\,1\,;\,\,2} \right),\,\]\[C\left( {2\,;\,\,3\,;\,\,1} \right)\]. Biết điểm \(M\) thuộc mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\) sao cho \(P = M{A^2} + 2M{B^2} - 2M{C^2}\) đạt giá trị nhỏ nhất là \({P_{\min }}\). Khi đó \({P_{\min }}\) bằng bao nhiêu (nhập đáp án vào ô trống)?

____

Gọi \(I\left( {a\,;\,b\,;\,c} \right)\) sao cho \(\overrightarrow {IA} + 2\overrightarrow {IB} - 2\overrightarrow {IC} = \vec 0\)\( \Rightarrow \overrightarrow {OI} = \overrightarrow {OA} + 2\overrightarrow {OB} - 2\overrightarrow {OC} \Rightarrow I\left( { - 3\,;\,\, - 5\,;\,\, - 3} \right)\).

Ta có \(P = M{A^2} + 2M{B^2} - 2M{C^2} = {\left( {\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IA} } \right)^2} + 2{\left( {\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IB} } \right)^2} - 2{\left( {\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IC} } \right)^2}\)

         \( = M{I^2} + I{A^2} + 2I{B^2} - 2I{C^2} + 2\overrightarrow {MI} \cdot \left( {\overrightarrow {IA} + 2\overrightarrow {IB} - 2\overrightarrow {IC} } \right) = M{I^2} + I{A^2} + 2I{B^2} - 2I{C^2}{\rm{. }}\)

Do \(I{A^2} + 2I{B^2} - 2I{C^2} = 36 + 2 \cdot 70 - 2 \cdot 105 = - 34\) không đổi nên \({P_{\min }} \Leftrightarrow M{I_{\min }}\).

Và \[M{I_{\min }} = {\rm{d}}\left( {I,\,\,\left( \alpha \right)} \right) = \frac{{\left| {2 \cdot \left( { - 3} \right) + 6 \cdot \left( { - 5} \right) - 3 \cdot \left( { - 3} \right) - 1} \right|}}{{\sqrt {4 + 36 + 9} }} = 4\]. Vậy \({P_{\min }} = 4 + \left( { - 34} \right) = - 30\).

Đáp án cần nhập là: \( - 30\).