Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho \(\overrightarrow a = \left( {1\;;\, - 1\;;\,0} \right)\) và hai điểm \(A\left( { - 4\;;\,7\;;\;3} \right)\), \(B\left( {4\;;\,4\;;\,5} \right)\). Giả sử \(M\), \(N\) là hai điểm thay đổi trong mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\) sao cho \(\overrightarrow {MN} \) cùng hướng với \(\overrightarrow a \) và \(MN = 5\sqrt 2 \). Giá trị lớn nhất của \(\left| {AM - BN} \right|\) bằng:

Vì \(\overrightarrow {MN} \) cùng hướng với \[\overrightarrow a \] nên \(\exists t > 0:\overrightarrow {MN} = t\overrightarrow a \).

Hơn nữa, \(MN = 5\sqrt 2 \Leftrightarrow t.\left| {\overrightarrow a } \right| = 5\sqrt 2 \)\( \Leftrightarrow t = 5\). Suy ra \(\overrightarrow {MN} = \left( {5\;; - 5\;;0} \right)\).

Gọi \(A'\left( {x';y';\,z'} \right)\) là điểm sao cho \(\overrightarrow {AA'} = \overrightarrow {MN} \)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x' + 4 = 5\\y' - 7 = - 5\\z' - 3 = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x' = 1\\y' = 2\\z' = 3\end{array} \right.\)\( \Rightarrow A'\left( {1\;;\,\;2\;;\,\;3} \right)\).

Dễ thấy các điểm \(A'\), \(B\) đều nằm cùng phía so với mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\) vì chúng đều có cao độ dương. Hơn nữa vì cao độ của chúng khác nhau nên đường thẳng \(A'B\) luôn cắt mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\) tại một điểm cố định.

Từ \(\overrightarrow {AA'} = \overrightarrow {MN} \) suy ra \(AM = A'N\) nên \(\left| {AM - BN} \right| = \left| {A'N - BN} \right| \le A'B\), dấu bằng xảy ra khi \(N\)

là giao điểm của đường thẳng \(A'B\) với mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\).

Vậy \(\max \left| {AM - BN} \right| = A'B = \sqrt {{{\left( {4 - 1} \right)}^2} + {{\left( {4 - 2} \right)}^2} + {{\left( {5 - 3} \right)}^2}} = \sqrt {17} \), đạt được khi\(N = A'B \cap \left( {Oxy} \right)\).

Chọn A.