Chứng tỏ rằng với mọi giá trị \(n\) là số nguyên thì phân số \(\frac{{3n + 10}}{{n + 3}}\) là phân số tối giản. Tìm giá trị nguyên của \(n\) để phân số đó có giá trị nguyên.

Gọi \(d = UCLN(3n + 10;n + 3)\;\)\(\left( {d \in \mathbb{N}*} \right)\)

Suy ra \(\left\{ \begin{array}{l}3n + 10 \vdots d\\n + 3 \vdots d\end{array} \right.\)

Hay \(\left\{ \begin{array}{l}3n + 10 \vdots d\\3n + 9 \vdots d\end{array} \right.\)

Do đó \(3n + 10 - \left( {3n + 9} \right) \vdots d\)

Nên \(1 \vdots d\)

Mà \(d \in \mathbb{N}*\) suy ra \(d = 1\).

Vậy \(\frac{{3n + 10}}{{n + 3}}\) là phân số tối giản.

Ta có \(\frac{{3n + 10}}{{n + 3}} = \frac{{3(n + 3) + 1}}{{n + 3}} = 3 + \frac{1}{{n + 3}}\).                                                                             

Với \(n\) là số nguyên, để \(\frac{{3n + 10}}{{n + 3}} = 3 + \frac{1}{{n + 3}}\) có giá trị nguyên thì \(1 \vdots \left( {n + 3} \right)\)

Do đó  \[n + 3 \in U(1) = \left\{ { \pm 1} \right\}\]

Ta có bảng sau:

Vậy \(n \in \{  - 4; - 2\} \) thì phân số \(\frac{{3n + 10}}{{n + 3}}\) có giá trị nguyên.