Khai triển \({(x + 1)^5}\). Khi đó

Ta có: \({(x + 1)^5} = C_5^0{x^5} + C_5^1{x^4} + C_5^2{x^3} + C_5^3{x^2} + C_5^4x + C_5^5\left( * \right)\)

\( = 1 + 5x + 10{x^2} + 10{x^3} + 5{x^4} + {x^5}\).

c) Từ khai triển (*) trong câu \(a\) ), thay \(x = 1\), ta được: \({(1 + 1)^5} = C_5^0 \cdot {1^5} + C_5^1 \cdot {1^4} + C_5^2 \cdot {1^3} + C_5^3 \cdot {1^2} + C_5^4 \cdot 1 + C_5^5\) \( = C_5^0 + C_5^1 + C_5^2 + C_5^3 + C_5^4 + C_5^5\).

Vậy \(C_5^0 + C_5^1 + C_5^2 + C_5^3 + C_5^4 + C_5^5 = {2^5}\).

d) Từ khai triển (*) của câu \(\left. a \right)\), thay \(x = 2\), ta được:

\(\begin{array}{l}{(2 + 1)^5} = C_5^0 \cdot {2^5} + C_5^1 \cdot {2^4} + C_5^2 \cdot {2^3} + C_5^3 \cdot {2^2} + C_5^4 \cdot 2 + C_5^5\\ = 32C_5^0 + 16C_5^1 + 8C_5^2 + 4C_5^3 + 2C_5^4 + C_5^5 = S\end{array}\)

Vậy \(S = {3^5}\).