Tìm số hạng không chứa \(x\)trong khai triển của biểu thức \(P\left( x \right) = {\left( {1 + x + \frac{1}{{{x^2}}}} \right)^n}\). Biết rằng \(C_n^2 + C_n^3 = 4n\)

\(\begin{array}{l}S = C_{2n + 1}^0 + C_{2n + 1}^1 + C_{2n + 1}^2 +  \ldots  + C_{2n + 1}^n, \Rightarrow 2S\\ = \left[ {C_{2n + 1}^0 + C_{2n + 1}^1 +  \ldots  + C_{2n + 1}^n} \right] + \left[ {C_{2n + 1}^0 + C_{2n + 1}^1 +  \ldots  + C_{2n + 1}^n} \right].\end{array}\)

Ta có \(C_n^k = C_n^{n - k}\) (tính chất tổ hợp).

\(\begin{array}{l} \Rightarrow 2S = \left[ {C_{2n + 1}^0 + C_{2n + 1}^1 +  \ldots  + C_{2n + 1}^n} \right] + \left[ {C_{2n + 1}^{2n + 1} + C_{2n + 1}^{2n} +  \ldots  + C_{2n + 1}^{n + 1}} \right],\\ \Rightarrow 2S = C_{2n + 1}^0 + C_{2n + 1}^1 +  \ldots  + C_{2n + 1}^n + C_{2n + 1}^{n + 1} +  \ldots  + C_{2n + 1}^{2n} + C_{2n + 1}^{2n}{\rm{, }}\end{array}\)

Xét khai triển \({(x + 1)^{2n + 1}} = C_{2n + 1}^0{x^0} + C_{2n + 1}^1{x^1} +  \ldots  + C_{2n + 1}^{2n + 1}{x^{2n + 1}}\),

Khi \(x = 1 \Rightarrow 2S = {2^{2n + 1}} \Rightarrow S = {2^{2n}} = {4^n}\).

Ta có \({(x + 1)^{2n + 1}} = C_{2n + 1}^0{x^{2n + 1}} + C_{2n + 1}^1{x^{2n}} +  \ldots  + C_{2n + 1}^{2n}x + C_{2n + 1}^{2n + 1}\quad \) (1).

Thay \(x = 1\) vào (1) ta được \({2^{2n + 1}} = C_{2n + 1}^0 + C_{2n + 1}^1 +  \ldots  + C_{2n + 1}^{2n} + C_{2n + 1}^{2n + 1}\) (2).

Thay \(x =  - 1\) vào (1) ta được \(0 =  - C_{2n + 1}^0 + C_{2n + 1}^1 -  \ldots  - C_{2n + 1}^{2n} + C_{2n + 1}^{2n + 1}\) (3).

Lấy \((2) - (3)\) vế theo vế ta được \({2^{2n + 1}} = 2\left( {C_{2n + 1}^0 + C_{2n + 1}^2 +  \ldots  + C_{2n + 1}^{2n}} \right)\).

Theo đề \({2^{2n + 1}} = 2.1024 \Leftrightarrow n = 5\).

Số hạng tổng quát của khai triển \({\left( {\frac{3}{2} - \frac{2}{3}{x^2}} \right)^n}\) là:

\({T_{k + 1}} = C_5^k \cdot {\left( {\frac{3}{2}} \right)^{5 - k}} \cdot {\left( { - \frac{2}{3}{x^2}} \right)^k} = C_5^k \cdot {( - 1)^k} \cdot {3^{5 - 2k}} \cdot {2^{2k - 5}}{x^{2k}}{\rm{. }}\)

Ta có bảng sau

Vậy số hạng có hệ số nguyên là \(15{x^4}\).