Tìm số hạng có hệ số nguyên trong khai triển thành đa thức của \({\left( {\frac{3}{2} - \frac{2}{3}{x^2}} \right)^n}\) biết \(n\) là số nguyên dương thỏa mãn: \(C_{2n + 1}^0 + C_{2n + 1}^2 + C_{2n + 1}^4 +  \ldots  + C_{2n + 1}^{2n} = 1024\)

\(\begin{array}{l}S = C_{2n + 1}^0 + C_{2n + 1}^1 + C_{2n + 1}^2 +  \ldots  + C_{2n + 1}^n, \Rightarrow 2S\\ = \left[ {C_{2n + 1}^0 + C_{2n + 1}^1 +  \ldots  + C_{2n + 1}^n} \right] + \left[ {C_{2n + 1}^0 + C_{2n + 1}^1 +  \ldots  + C_{2n + 1}^n} \right].\end{array}\)

Ta có \(C_n^k = C_n^{n - k}\) (tính chất tổ hợp).

\(\begin{array}{l} \Rightarrow 2S = \left[ {C_{2n + 1}^0 + C_{2n + 1}^1 +  \ldots  + C_{2n + 1}^n} \right] + \left[ {C_{2n + 1}^{2n + 1} + C_{2n + 1}^{2n} +  \ldots  + C_{2n + 1}^{n + 1}} \right],\\ \Rightarrow 2S = C_{2n + 1}^0 + C_{2n + 1}^1 +  \ldots  + C_{2n + 1}^n + C_{2n + 1}^{n + 1} +  \ldots  + C_{2n + 1}^{2n} + C_{2n + 1}^{2n}{\rm{, }}\end{array}\)

Xét khai triển \({(x + 1)^{2n + 1}} = C_{2n + 1}^0{x^0} + C_{2n + 1}^1{x^1} +  \ldots  + C_{2n + 1}^{2n + 1}{x^{2n + 1}}\),

Khi \(x = 1 \Rightarrow 2S = {2^{2n + 1}} \Rightarrow S = {2^{2n}} = {4^n}\).

Số hạng tổng quát trong khai triển có dạng:

\(C_9^k{(2x)^{9 - k}} \cdot {\left( {\frac{1}{{2x}}} \right)^k} = C_9^k \cdot {2^{9 - k}} \cdot {x^{9 - k}} \cdot \frac{1}{{{2^k}{x^k}}} = C_9^k \cdot {2^{9 - k}} \cdot \frac{1}{{{2^k}}}{x^{9 - 2k}}\)

Số hạng chứa \({x^5}\) tương ứng với: \(9 - 2k = 5 \Leftrightarrow k = 2\)

Vậy số hạng chứa \({x^5}\) là: \(C_9^2 \cdot {2^{9 - 2}} \cdot \frac{1}{{{2^2}}}{x^5} = 1152{x^5}\).