Tìm số hạng có hệ số nguyên trong khai triển thành đa thức của \({\left( {\frac{3}{2} - \frac{2}{3}{x^2}} \right)^n}\) biết \(n\) là số nguyên dương thỏa mãn: \(C_{2n + 1}^0 + C_{2n + 1}^2 + C_{2n + 1}^4 +  \ldots  + C_{2n + 1}^{2n} = 1024\)

\(\begin{array}{l}S = C_{2n + 1}^0 + C_{2n + 1}^1 + C_{2n + 1}^2 +  \ldots  + C_{2n + 1}^n, \Rightarrow 2S\\ = \left[ {C_{2n + 1}^0 + C_{2n + 1}^1 +  \ldots  + C_{2n + 1}^n} \right] + \left[ {C_{2n + 1}^0 + C_{2n + 1}^1 +  \ldots  + C_{2n + 1}^n} \right].\end{array}\)

Ta có \(C_n^k = C_n^{n - k}\) (tính chất tổ hợp).

\(\begin{array}{l} \Rightarrow 2S = \left[ {C_{2n + 1}^0 + C_{2n + 1}^1 +  \ldots  + C_{2n + 1}^n} \right] + \left[ {C_{2n + 1}^{2n + 1} + C_{2n + 1}^{2n} +  \ldots  + C_{2n + 1}^{n + 1}} \right],\\ \Rightarrow 2S = C_{2n + 1}^0 + C_{2n + 1}^1 +  \ldots  + C_{2n + 1}^n + C_{2n + 1}^{n + 1} +  \ldots  + C_{2n + 1}^{2n} + C_{2n + 1}^{2n}{\rm{, }}\end{array}\)

Xét khai triển \({(x + 1)^{2n + 1}} = C_{2n + 1}^0{x^0} + C_{2n + 1}^1{x^1} +  \ldots  + C_{2n + 1}^{2n + 1}{x^{2n + 1}}\),

Khi \(x = 1 \Rightarrow 2S = {2^{2n + 1}} \Rightarrow S = {2^{2n}} = {4^n}\).

Ta có \({n^2} - 6n - 7 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{n = 7}\\{n =  - 1}\end{array}} \right.\). Do \(n \in N\) nên \(n = 7\).

Khi đó: \(S = C_7^0 + C_7^1 +  \ldots  + C_7^7\).

Xét khai triển \({(a + b)^7} = \sum\limits_{k = 0}^7 {C_7^k} {a^{7 - k}}{b^k}\). Ta chọn \(a = b = 1\), thu được: \({(1 + 1)^7} = C_7^0 + C_7^1 +  \ldots  + C_7^7\)

Vậy \(S = {2^7} = 128\).