Cho hàm số \(y = \frac{{2x - 1}}{{x - 1}}\) có đồ thị \(\left( C \right)\). Gọi \(m\) là tung độ của điểm \(A\) thuộc đồ thị \(\left( C \right)\) sao cho tiếp tuyến của \(\left( C \right)\) tại \(A\) cắt hai đường tiệm cận lần lượt tại \(H,K\) và độ dài \(HK\) đạt giá trị nhỏ nhất. Tích các giá trị của \(m\) thỏa mãn yêu cầu bài toán là:
A. 0.
B. 1.
C. 3.
D. 4.
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
\(\left( C \right)\) có tiệm cận đứng là đường thẳng \(x = 1\) và tiệm cận ngang là đường thẳng \(y = 2\).
Do đó \(I\left( {1;2} \right)\).
Ta có: \(y' = \frac{{ - 1}}{{{{(x - 1)}^2}}}\). Gọi \(A\left( {{x_A};\frac{{2{x_A} - 1}}{{{x_A} - 1}}} \right)\) là điểm thuộc \(\left( C \right)\).
Phương trình tiếp tuyến \(\left( T \right)\) của \(\left( C \right)\) tại \(A\) là:\(y = \frac{{ - 1}}{{{{\left( {{x_A} - 1} \right)}^2}}}\left( {x - {x_A}} \right) + \frac{{2{x_A} - 1}}{{{x_A} - 1}}\).
\(H\)là giao điểm của \(\left( T \right)\) và tiệm cận đứng nên \(H\left( {1;\frac{{2{x_A}}}{{{x_A} - 1}}} \right)\);
\(K\)là giao điểm của \(\left( T \right)\) và tiệm cận ngang nên \(K\left( {2{x_A} - 1;2} \right)\).
Do đó: \(HK = \sqrt {{{\left( {2{x_A} - 1 - 1} \right)}^2} + {{\left( {2 - \frac{{2{x_A}}}{{{x_A} - 1}}} \right)}^2}} = \sqrt {{{\left( {2{x_A} - 2} \right)}^2} + {{\left( {\frac{{ - 2}}{{{x_A} - 1}}} \right)}^2}} \)
\( = 2\sqrt {{{\left( {{x_A} - 1} \right)}^2} + \frac{1}{{{{\left( {{x_A} - 1} \right)}^2}}}} \)
Ta có: \({\left( {{x_A} - 1} \right)^2} + \frac{1}{{{{\left( {{x_A} - 1} \right)}^2}}} \ge 2\sqrt {{{\left( {{x_A} - 1} \right)}^2}.\frac{1}{{{{\left( {{x_A} - 1} \right)}^2}}}} = 2 \Rightarrow HK \ge 2\sqrt 2 \).
Vậy giá trị nhỏ nhất của \(HK\) là \(2\sqrt 2 \), đạt được khi:
\({\left( {{x_A} - 1} \right)^2} = \frac{1}{{{{\left( {{x_A} - 1} \right)}^2}}} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_A} = 2 \Rightarrow {y_A} = 3 \Leftrightarrow m = 3}\\{{x_A} = 0 \Rightarrow {y_A} = 1 \Leftrightarrow m = 1}\end{array}} \right.\).
Tích các giá trị \(m\) thỏa yêu cầu bài toán là: \(3 \cdot 1 = 3\). Chọn C.
Hot: 1000+ Đề thi cuối kì 2 file word cấu trúc mới 2026 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay
Các sản phẩm khác của Vietjack:
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1
A. \(5\sqrt 2 \).
B. \(3\sqrt {13} \).
C. \(\sqrt {61} \).
D. \(\sqrt {85} \).
Lời giải
Dễ thấy hai điểm \(A,B\) nằm khác phía so với mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\).
Gọi \({A_1}\) là điểm đối xứng của \(A\) qua mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\) suy ra \({A_1}\left( {1; - 3; - 2} \right)\).
Gọi mặt phẳng \(\left( P \right)\) chứa \({A_1}\) và song song mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\) suy ra \(\left( P \right):z = - 2\).
Ta gọi \({A_2}:\)\(\overrightarrow {{A_1}{A_2}} = \overrightarrow {MN} \) và gọi \(K\) là hình chiếu của \(B\) lên \(\left( P \right)\)
\( \Rightarrow K\left( { - 2;1; - 2} \right) \Rightarrow BK = 2,K{A_1} = 5\).
Khi đó: \(\left| {AM - BN} \right| = \left| {{A_2}N - BN} \right| \le {A_2}B \le \sqrt {B{K^2} + {{\left( {K{A_1} + 4} \right)}^2}} = \sqrt {85} \).
Suy ra giá trị lớn nhất của \(\left| {AM - BN} \right|\) bằng \(\sqrt {85} \), dấu bằng xảy ra khi \(N = {A_2}B \cap \left( {Oxy} \right)\). Chọn D.
Câu 2
A. \(\frac{1}{3}\)
B. \(\frac{1}{2}\)
C. \(\frac{2}{3}\)
D. \(\frac{3}{4}\)
Lời giải
Ta có:
\({\rm{\Omega }} = \left\{ {\left( {1,2} \right),\left( {1,3} \right),\left( {1,4} \right),\left( {2,1} \right),\left( {2,3} \right),\left( {2,4} \right),\left( {3,1} \right),\left( {3,2} \right),\left( {3,4} \right),\left( {4,1} \right),\left( {4,2} \right),\left( {4,3} \right)} \right\}\).
\(A = \left\{ {\left( {2,1} \right),\left( {2,3} \right),\left( {2,4} \right),\left( {4,1} \right),\left( {4,2} \right),\left( {4,3} \right)} \right\}\).
\(B = \left\{ {\left( {2,1} \right),\left( {3,1} \right),\left( {4,1} \right),\left( {1,3} \right),\left( {2,3} \right),\left( {4,3} \right)} \right\}\).
\(A \cap B = \left\{ {\left( {2,1} \right),\left( {2,3} \right),\left( {4,1} \right),\left( {4,3} \right)} \right\}\).
Ta có: \(n\left( {\rm{\Omega }} \right) = 12\).
\(n\left( A \right) = 2.3 = 6 \Rightarrow P\left( A \right) = \frac{6}{{12}} = \frac{1}{2}\).
\(n\left( {A \cap B} \right) = 4 \Rightarrow P\left( {A \cap B} \right) = \frac{4}{{12}} = \frac{1}{3}\)
Vậy \(P\left( {B\mid A} \right) = \frac{{P\left( {A \cap B} \right)}}{{P\left( A \right)}} = \frac{{\frac{1}{3}}}{{\frac{1}{2}}} = \frac{2}{3}\). Chọn C.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 6
A. \({\rm{\Delta }}:\frac{{x - 1}}{6} = \frac{{y + 4}}{{ - 10}} = \frac{{z - 3}}{{17}}\).
B. \({\rm{\Delta }}:\frac{{x - 1}}{{ - 6}} = \frac{{y + 4}}{{ - 10}} = \frac{{z - 3}}{{17}}\).
C. \({\rm{\Delta }}:\frac{{x - 1}}{6} = \frac{{y + 4}}{{ - 10}} = \frac{{z - 3}}{{ - 17}}\).
D. \({\rm{\Delta }}:\frac{{x - 1}}{6} = \frac{{y + 4}}{{10}} = \frac{{z - 3}}{{17}}\).
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 7
A. \(\frac{{184}}{{285}}\).
B. \(\frac{{91}}{{285}}\).
C. \(\frac{{194}}{{285}}\).
D. \(\frac{{101}}{{285}}\).
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập