Trong không gian \(Oxyz\), cho hai điểm \(A\left( {1; - 3;2} \right)\) và \(B\left( { - 2;1; - 4} \right)\). Xét hai điểm \(M\) và \(N\) thay đổi thuộc mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\) sao cho \(MN = 4\). Giá trị lớn nhất của \[\left| {AM - BN} \right|\] bằng    

Ta có:

\({\rm{\Omega }} = \left\{ {\left( {1,2} \right),\left( {1,3} \right),\left( {1,4} \right),\left( {2,1} \right),\left( {2,3} \right),\left( {2,4} \right),\left( {3,1} \right),\left( {3,2} \right),\left( {3,4} \right),\left( {4,1} \right),\left( {4,2} \right),\left( {4,3} \right)} \right\}\).

\(A = \left\{ {\left( {2,1} \right),\left( {2,3} \right),\left( {2,4} \right),\left( {4,1} \right),\left( {4,2} \right),\left( {4,3} \right)} \right\}\).

\(B = \left\{ {\left( {2,1} \right),\left( {3,1} \right),\left( {4,1} \right),\left( {1,3} \right),\left( {2,3} \right),\left( {4,3} \right)} \right\}\).

\(A \cap B = \left\{ {\left( {2,1} \right),\left( {2,3} \right),\left( {4,1} \right),\left( {4,3} \right)} \right\}\).

Ta có: \(n\left( {\rm{\Omega }} \right) = 12\).

\(n\left( A \right) = 2.3 = 6 \Rightarrow P\left( A \right) = \frac{6}{{12}} = \frac{1}{2}\).

\(n\left( {A \cap B} \right) = 4 \Rightarrow P\left( {A \cap B} \right) = \frac{4}{{12}} = \frac{1}{3}\)

Vậy \(P\left( {B\mid A} \right) = \frac{{P\left( {A \cap B} \right)}}{{P\left( A \right)}} = \frac{{\frac{1}{3}}}{{\frac{1}{2}}} = \frac{2}{3}\). Chọn C.

Gọi toạ độ giao điểm của \(d\) và \(\left( {Oxz} \right)\) là \(I\left( {a;0;c} \right)\).

Khi đó ta có: \(\frac{{a - 1}}{2} = \frac{{0 + 2}}{{ - 1}} = \frac{{c + 1}}{3}\)\( \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a =  - 3}\\{c =  - 7}\end{array}} \right.\).

Vậy \(I\left( { - 3;0; - 7} \right)\). Nên \(S = \left( { - 3} \right) + 0 + \left( { - 7} \right) =  - 10\).

Đáp án cần nhập là: \( - 10\).