Trong không gian \(Oxyz\), cho mặt cầu \(\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} + 2x - 4y - 2z + 5 = 0\) và mặt phẳng \(\left( P \right):x - 2y + 2z - 3 = 0\). Gọi \(M,N\) là các điểm lần lượt thuộc \(\left( P \right)\) và \(\left( S \right)\) sao cho vectơ \(\overrightarrow {MN} \) cùng phương với vectơ \(\vec u = \left( {1;0;1} \right)\). Giá trị lớn nhất của độ dài \(MN\) là:    

Xét \(\Delta SBA\) có 3 điểm \({\rm{M}},{\rm{N}},{\rm{H}}\) thẳng hàng. Theo định lý Menelaus ta có:

\(\frac{{MS}}{{MA}} \cdot \frac{{HA}}{{HB}} \cdot \frac{{NB}}{{NS}} = 1 \Rightarrow \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{{HA}}{{HB}} = 1 \Rightarrow \frac{{HA}}{{HB}} = 4 \Rightarrow HA = 4HB\).

Ta có: \(\overrightarrow {MH}  = \overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {BH}  = \frac{2}{3}\overrightarrow {SA}  + \overrightarrow {AB}  + \frac{1}{5}\overrightarrow {AB}  = \frac{2}{3}\overrightarrow {SA}  + \frac{6}{5}\overrightarrow {AB} \). Chọn B.

\(\left( C \right)\) có tiệm cận đứng là đường thẳng \(x = 1\) và tiệm cận ngang là đường thẳng \(y = 2\).

Do đó \(I\left( {1;2} \right)\).

Ta có: \(y' = \frac{{ - 1}}{{{{(x - 1)}^2}}}\). Gọi \(A\left( {{x_A};\frac{{2{x_A} - 1}}{{{x_A} - 1}}} \right)\) là điểm thuộc \(\left( C \right)\).

Phương trình tiếp tuyến \(\left( T \right)\) của \(\left( C \right)\) tại \(A\) là:\(y = \frac{{ - 1}}{{{{\left( {{x_A} - 1} \right)}^2}}}\left( {x - {x_A}} \right) + \frac{{2{x_A} - 1}}{{{x_A} - 1}}\).

\(H\)là giao điểm của \(\left( T \right)\) và tiệm cận đứng nên \(H\left( {1;\frac{{2{x_A}}}{{{x_A} - 1}}} \right)\);

\(K\)là giao điểm của \(\left( T \right)\) và tiệm cận ngang nên \(K\left( {2{x_A} - 1;2} \right)\).

Do đó: \(HK = \sqrt {{{\left( {2{x_A} - 1 - 1} \right)}^2} + {{\left( {2 - \frac{{2{x_A}}}{{{x_A} - 1}}} \right)}^2}}  = \sqrt {{{\left( {2{x_A} - 2} \right)}^2} + {{\left( {\frac{{ - 2}}{{{x_A} - 1}}} \right)}^2}} \)

\( = 2\sqrt {{{\left( {{x_A} - 1} \right)}^2} + \frac{1}{{{{\left( {{x_A} - 1} \right)}^2}}}} \)

Ta có: \({\left( {{x_A} - 1} \right)^2} + \frac{1}{{{{\left( {{x_A} - 1} \right)}^2}}} \ge 2\sqrt {{{\left( {{x_A} - 1} \right)}^2}.\frac{1}{{{{\left( {{x_A} - 1} \right)}^2}}}}  = 2 \Rightarrow HK \ge 2\sqrt 2 \).

Vậy giá trị nhỏ nhất của \(HK\) là \(2\sqrt 2 \), đạt được khi:

\({\left( {{x_A} - 1} \right)^2} = \frac{1}{{{{\left( {{x_A} - 1} \right)}^2}}} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_A} = 2 \Rightarrow {y_A} = 3 \Leftrightarrow m = 3}\\{{x_A} = 0 \Rightarrow {y_A} = 1 \Leftrightarrow m = 1}\end{array}} \right.\).

Tích các giá trị \(m\) thỏa yêu cầu bài toán là: \(3 \cdot 1 = 3\). Chọn C.