Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình bình hành, cạnh \(AB = 2a,BC = 2a\sqrt 2 ,OD = a\sqrt 3 \). Tam giác \(SAB\) nằm trên mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi \(O\) là giao điểm của \(AC\) và \(BD\). Gọi \(d\) là khoảng cách từ điểm \(O\) đến mặt phẳng \(\left( {SAB} \right)\). Giá trị \({\left( {\frac{d}{a}} \right)^2}\) bằng (nhập đáp án vào ô trống).

__

Trong \(\left( {ABCD} \right)\), kẻ \(OP \bot AB\).

Do \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\left( {SAB} \right) \bot \left( {ABCD} \right)}\\{\left( {SAB} \right) \cap \left( {ABCD} \right) = AB \Rightarrow OP \bot \left( {SAB} \right) \Rightarrow d\left( {O,\left( {SAB} \right)} \right) = OP.}\\{AB \bot OP \subset \left( {ABCD} \right)}\end{array}} \right.\)

Từ \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{AB = 2a}\\{BC = 2a\sqrt 2 }\\{OD = a\sqrt 3 }\end{array} \Rightarrow A{B^2} + A{D^2} = 4{a^2} + 8{a^2} = 12{a^2} = {{\left( {2OD} \right)}^2} = B{D^2}} \right.\)

\( \Rightarrow \Delta BAD\) vuông tại \(A\), trên \(\left( {ABCD} \right)\), ta có \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{OP \bot AB}\\{AD \bot AB}\end{array} \Rightarrow OP//AD} \right.\).

Mà \(O\) là trung điểm của \(BD \Rightarrow OP = \frac{1}{2}AD = \frac{1}{2}.2a\sqrt 2  = a\sqrt 2  \Rightarrow d\left( {O,\left( {SAB} \right)} \right) = a\sqrt 2 \)

\( \Rightarrow \frac{d}{a} = \sqrt 2  \Rightarrow {\left( {\frac{d}{a}} \right)^2} = 2\).

Đáp án cần nhập là: \(2\).