Dựa vào thông tin cung cấp dưới đây để trả lời các câu từ 30 đến 32.

Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình bình hành. Gọi \(M \in SA\) sao cho \(SM = \frac{1}{3}SA\), \(N \in SB\) sao cho \(BN = \frac{1}{2}SN\) và \(P\) là trung điểm của \(SC\). Kẻ \(AB\) cắt \(MN\) tại \(H,MP\) cắt \(AC\) tại \(K,NP\) cắt \(BC\) tại \(I\).

Phân tích vectơ \(\overrightarrow {MH} \) theo các vecto \(\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {BC} \) và \(\overrightarrow {SA} \)?

\(\left( C \right)\) có tiệm cận đứng là đường thẳng \(x = 1\) và tiệm cận ngang là đường thẳng \(y = 2\).

Do đó \(I\left( {1;2} \right)\).

Ta có: \(y' = \frac{{ - 1}}{{{{(x - 1)}^2}}}\). Gọi \(A\left( {{x_A};\frac{{2{x_A} - 1}}{{{x_A} - 1}}} \right)\) là điểm thuộc \(\left( C \right)\).

Phương trình tiếp tuyến \(\left( T \right)\) của \(\left( C \right)\) tại \(A\) là:\(y = \frac{{ - 1}}{{{{\left( {{x_A} - 1} \right)}^2}}}\left( {x - {x_A}} \right) + \frac{{2{x_A} - 1}}{{{x_A} - 1}}\).

\(H\)là giao điểm của \(\left( T \right)\) và tiệm cận đứng nên \(H\left( {1;\frac{{2{x_A}}}{{{x_A} - 1}}} \right)\);

\(K\)là giao điểm của \(\left( T \right)\) và tiệm cận ngang nên \(K\left( {2{x_A} - 1;2} \right)\).

Do đó: \(HK = \sqrt {{{\left( {2{x_A} - 1 - 1} \right)}^2} + {{\left( {2 - \frac{{2{x_A}}}{{{x_A} - 1}}} \right)}^2}}  = \sqrt {{{\left( {2{x_A} - 2} \right)}^2} + {{\left( {\frac{{ - 2}}{{{x_A} - 1}}} \right)}^2}} \)

\( = 2\sqrt {{{\left( {{x_A} - 1} \right)}^2} + \frac{1}{{{{\left( {{x_A} - 1} \right)}^2}}}} \)

Ta có: \({\left( {{x_A} - 1} \right)^2} + \frac{1}{{{{\left( {{x_A} - 1} \right)}^2}}} \ge 2\sqrt {{{\left( {{x_A} - 1} \right)}^2}.\frac{1}{{{{\left( {{x_A} - 1} \right)}^2}}}}  = 2 \Rightarrow HK \ge 2\sqrt 2 \).

Vậy giá trị nhỏ nhất của \(HK\) là \(2\sqrt 2 \), đạt được khi:

\({\left( {{x_A} - 1} \right)^2} = \frac{1}{{{{\left( {{x_A} - 1} \right)}^2}}} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_A} = 2 \Rightarrow {y_A} = 3 \Leftrightarrow m = 3}\\{{x_A} = 0 \Rightarrow {y_A} = 1 \Leftrightarrow m = 1}\end{array}} \right.\).

Tích các giá trị \(m\) thỏa yêu cầu bài toán là: \(3 \cdot 1 = 3\). Chọn C.

Ta có \(\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} + 2x - 4y - 2z + 5 = 0\)

nên (S) có tâm \(I\left( { - 1;2;1} \right)\) và bán kính \(R = 1\).

Mặt phẳng \(\left( P \right):x - 2y + 2z - 3 = 0\) có vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {{n_{\left( P \right)}}}  = \left( {1; - 2;2} \right)\).

\(d\left( {I,\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| { - 1 - 2 \cdot 2 + 2 \cdot 1 - 3} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {2^2} + {2^2}} }} = 2 > R\) nên \(\left( P \right)\) và \(\left( S \right)\) không giao nhau.

Gọi \(H\) là hình chiếu của \(N\) trên mặt phẳng \(\left( P \right)\) và \(\alpha \) là góc giữa \(MN\) và \(NH\).

\(\overrightarrow {MN} \) và \(\vec u\) cùng phương, \(\overrightarrow {NH} \) và \(\overrightarrow {{n_{\left( P \right)}}} \) cùng phương nên

\({\rm{cos}}\alpha  = \frac{{\left| {\overrightarrow {{n_{\left( P \right)}}}  \cdot \vec u} \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{n_{\left( P \right)}}} } \right| \cdot \left| {\vec u} \right|}} = \frac{{\left| {1 \cdot 1 - 2 \cdot 0 + 2 \cdot 1} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {2^2} + {2^2}}  \cdot \sqrt {{1^2} + {0^2} + {1^2}} }} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\).

Vì \(M,N\) là các điểm lần lượt thuộc mặt phẳng \(\left( P \right)\) và mặt cầu \(\left( S \right)\) (\(\left( P \right)\) và \(\left( S \right)\) không giao nhau) và \(MN = \frac{{d\left( {N,\left( P \right)} \right)}}{{{\rm{cos}}\left( {\overrightarrow {MN} ,\overrightarrow {{n_{\left( P \right)}}} } \right)}}\) nên \(MN\) lớn nhất khi và chỉ khi \(d\left( {N,\left( P \right)} \right)\) lớn nhất \( \Leftrightarrow \) tâm I của (S) nằm giữa \(N\) và hình chiếu vuông góc của \(N\) trên \(\left( P \right)\).

Xét tam giác \(MNH\) vuông tại \(H\) có \(\alpha  = \widehat {HNM}\) nên

\(HN = MN{\rm{cos}}\alpha  \Rightarrow MN = \frac{{HN}}{{{\rm{cos}}\alpha }} = \frac{{HN}}{{\frac{{\sqrt 2 }}{2}}} = \sqrt 2 HN\).

Ta có \(HN \le d\left( {I,\left( P \right)} \right) + R = 2 + 1 = 3\) nên \(MN \le 3\sqrt 2 \).

Dấu đẳng thức xảy ra khi \(I\)nằm giữa \(H\) và \(N\).

Do đó, giá trị lớn nhất của độ dài \(MN\) là \(3\sqrt 2 \), đạt được khi \(I\) nằm giữa \(H\) và \(N\).

Vậy giá trị lớn nhất của độ dài \(MN\) là \(3\sqrt 2 \). Chọn A.