Cho hàm số \(y =  - {x^3} - 6{x^2} + \left( {4m - 9} \right)x + 4\). Tính tổng tất cả các giá trị nguyên của tham số \(m\) thuộc đoạn \(\left[ { - 15;15} \right]\) để hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng \(\left( { - \infty ; - 1} \right)\) (nhập đáp án vào ô trống).

_____

Тập xác định: \(D = \mathbb{R}\)

\(y =  - {x^3} - 6{x^2} + \left( {4m - 9} \right)x + 4\) xác định với mọi \(x\) thuộc \(\left( { - \infty ; - 1} \right)\).

Ta có: \(y' =  - 3{x^2} - 12x + 4m - 9\).

Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng \(\left( { - \infty ; - 1} \right)\)

\( \Leftrightarrow y' \le 0\forall x \in \left( { - \infty ; - 1} \right)\)

\( \Leftrightarrow  - 3{x^2} - 12x + 4m - 9 \le 0\forall x \in \left( { - \infty ; - 1} \right)\)

\( \Leftrightarrow 4m \le 3{x^2} + 12x + 9\forall x \in \left( { - \infty ; - 1} \right)\).

Xét hàm số \(g\left( x \right) = 3{x^2} + 12x + 9\) trên \(\left( { - \infty ; - 1} \right)\).

\(g'\left( x \right) = 6x + 12\).

\(g'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x =  - 2\).

Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên, ta có: \(4m \le 3{x^2} + 12x + 9\forall x \in \left( { - \infty ; - 1} \right) \Leftrightarrow 4m \le  - 3 \Leftrightarrow m \le \frac{{ - 3}}{4}\).

Mà \(m\) là số nguyên thuộc đoạn \(\left[ { - 15;15} \right]\) nên \(m \in \left\{ { - 15; - 14; \ldots ; - 1} \right\}\).

Vậy tổng tất cả các giá trị của \(m\) thỏa yêu cầu bài toán là \(\frac{{\left[ { - 15 + \left( { - 1} \right)} \right] \cdot 15}}{2} =  - 120\).

 Đáp án cần nhập là: \( - 120\).