Trong không gian Oxyz, cho các điểm \(A\left( {2;7;5} \right),B\left( {3;6;4} \right),C\left( {1;8;2} \right),D\left( {4;3;2} \right)\). Toạ độ điểm \(M\) sao cho biểu thức \(T = M{A^2} + M{B^2} - M{C^2} + 2M{D^2}\) đạt giá trị nhỏ nhất là \(\left( {a;b;c} \right)\). Giá trị biểu thức \(P = \frac{{ab}}{c}\) bằng bao nhiêu (nhập đáp án vào ô trống)?
__
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Gọi \(I\left( {x;y;z} \right)\) là điểm thoả mãn \(\overrightarrow {IA} + \overrightarrow {IB} - \overrightarrow {IC} + 2\overrightarrow {ID} = \vec 0\).
Có \(\overrightarrow {IA} = \left( {2 - x;7 - y;5 - z} \right)\); \[\overrightarrow {IB} = \left( {3 - x;6 - y;4 - z} \right)\];
\(\overrightarrow {IC} = \left( {1 - x;8 - y;2 - z} \right)\); \(\overrightarrow {ID} = \left( {4 - x;3 - y;2 - z} \right)\).
Khi đó ta có \(\left\{ \begin{array}{l}2 - x + 3 - x - 1 + x + 8 - 2x = 0\\7 - y + 6 - y - 8 + y + 6 - 2y = 0\\5 - z + 4 - z - 2 + z + 4 - 2z = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}12 - 3x = 0\\11 - 3y = 0\\11 - 3z = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 4\\y = \frac{{11}}{3}\\z = \frac{{11}}{3}\end{array} \right.\).
Ta có:\(T = M{A^2} + M{B^2} - M{C^2} + 2M{D^2}\)
\(T = {\left( {\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IA} } \right)^2} + {\left( {\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IB} } \right)^2} - {\left( {\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IC} } \right)^2} + 2{\left( {\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {ID} } \right)^2}\)
\(T = 3M{I^2} + 2\overrightarrow {MI} \left( {\overrightarrow {IA} + \overrightarrow {IB} - \overrightarrow {IC} + 2\overrightarrow {ID} } \right) + I{A^2} + I{B^2} - I{C^2} + 2I{D^2}\)
\(T = 3M{I^2} + I{A^2} + I{B^2} - I{C^2} + 2I{D^2} \ge I{A^2} + I{B^2} - I{C^2} + 2I{D^2}\).
Khi đó, \(T\) đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi \(M{I^2} = 0 \Leftrightarrow M \equiv I\).
Vậy toạ độ điểm \(M\) cần tìm là \(M\left( {4;\frac{{11}}{3};\frac{{11}}{3}} \right)\). Suy ra \(a = 4;b = \frac{{11}}{3};c = \frac{{11}}{3}\).
Vậy \(P = \frac{{ab}}{c} = 4\).
Đáp án cần nhập là: \(4\).
Hot: 1000+ Đề thi cuối kì 2 file word cấu trúc mới 2026 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Lời giải
Ta có: \({\rm{tan}}\left( {\widehat {BAM} + \widehat {DAN}} \right) = \frac{{{\rm{tan}}\widehat {BAM} + {\rm{tan}}\widehat {DAN}}}{{1 - \tan \widehat {BAM} \cdot {\rm{tan}}\widehat {DAN}}} = \frac{{\frac{1}{2} + \frac{1}{3}}}{{1 - \frac{1}{2}.\frac{1}{3}}} = 1\).
\( \Rightarrow \widehat {BAM} + \widehat {DAN} = 45^\circ \Rightarrow \widehat {MAN} = 45^\circ \)
Vì \(A \in AN:2x - y - 3 = 0\) nên \(A\left( {a;2a - 3} \right)\). Ta có \(\overrightarrow {MA} = \left( {a - \frac{{11}}{2};2a - \frac{7}{2}} \right)\).
Vectơ chỉ phương của đường thẳng \(AN\) là \(\vec u = \left( {1;2} \right)\).
vì \(\widehat {MAN} = 45^\circ \) nên \(\left| {{\rm{cos}}\left( {\vec u,\overrightarrow {MA} } \right)} \right| = {\rm{cos}}{45^0} \Rightarrow \frac{{\left| {a - \frac{{11}}{2} + 4a - 7} \right|}}{{\sqrt {{{\left( {a - \frac{{11}}{2}} \right)}^2} + {{\left( {2a - \frac{7}{2}} \right)}^2}} \cdot \sqrt {{1^2} + {2^2}} }} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\)
\( \Rightarrow 2 \cdot {\left( {5a - \frac{{25}}{2}} \right)^2} = 5 \cdot \left( {5{a^2} - 25a + \frac{{85}}{2}} \right) \Rightarrow 25{a^2} - 125a + 100 = 0 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}a = 1\\a = 4\end{array} \right.\).
Vậy tổng giá trị hoành độ của các điểm \(A\) thỏa yêu cầu bài toán là \(1 + 4 = 5\). Chọn C.
Câu 2
Lời giải
Theo giả thiết, phương trình của elip là: \(\frac{{{x^2}}}{{2500}} + \frac{{{y^2}}}{{1600}} = 1 \Rightarrow y = \frac{4}{5}\sqrt {2500 - {x^2}} \).
Diện tích của cả khu vườn là: .
Diện tích phần trồng cây con là:
\({S_1} = \int\limits_0^{50} {\frac{4}{5}\sqrt {2500 - {x^2}} } - {S_{OAB}} = 500\pi - \frac{1}{2} \cdot 40 \cdot 50 = 500\pi - 1000\;{m^2}\).
Diện tích phần trồng rau là: \({S_2} = S - {S_1} = 1500\pi + 1000\left( {{m^2}} \right)\)
Tổng thu nhập của cả mảnh vườn là:
\(T = 2000 \cdot \left( {500\pi - 1000} \right) + 4000 \cdot \left( {1500\pi + 1000} \right) \approx 23991000\). Chọn B.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 4
A. 86400.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 5
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 7
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập