Cho một tấm nhôm hình vuông cạnh \(a\). Người ta cắt ở 4 góc của tấm nhôm 4 hình vuông bằng nhau cạnh \(x\), rồi gập tấm nhôm lại để được một cái hộp không nắp (tham khảo hình vẽ)

Để thể tích cái hộp không nắp lớn nhất thì cạnh đáy của nó phải là:

Cạnh đáy của cái hộp không nắp là \(a - 2x\). Điều kiện: \(0 < x < \frac{a}{2}\).

Thể tích của cái hộp không nắp là \(V\left( x \right) = {\left( {a - 2x} \right)^2}x = 4{x^3} - 4a{x^2} + {a^2}x\).

Xét hàm số \(V\left( x \right) = 4{x^3} - 4a{x^2} + {a^2}x\) trên \(\left( {0;\frac{a}{2}} \right)\).

\(V\left( x \right)\) liên tục trên \(\left( {0;\frac{a}{2}} \right)\).

\(V'\left( x \right) = 12{x^2} - 8ax + {a^2}\).

\[V'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow 12{x^2} - 8ax + {a^2} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{a}{6}\\x = \frac{a}{2}\end{array} \right.\]. Vì \(x \in \left( {0;\frac{a}{2}} \right)\) nên \(x = \frac{a}{6}\).

Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên  đạt tại \(x = \frac{a}{6}\).

Khi đó, cạnh đáy của cái hộp là \(a - 2 \cdot \frac{a}{6} = \frac{{2a}}{3}\). Chọn A.