Trong không gian \(Oxyz\), cho hai điểm \(M\left( {1;2;3} \right)\) và \(S\left( {1;3; - 4} \right)\). Mặt phẳng \(\left( P \right)\) đi qua \(M\) và cắt các trục tọa độ \(Ox,Oy,Oz\) lần lượt tại các điểm \(A,B,C\) sao cho \(M\) là trực tâm của tam giác \(ABC\). Tính thể tích khối chóp \(S.ABC\)( nhập đáp án vào ô trống, làm tròn kết quả đến hàng phần mười).

_____

Mặt phẳng \(\left( P \right)\) đi qua \(M\) và cắt các trục tọa độ \(Ox,Oy,Oz\) lần lượt tại các điểm \(A,B,C\) sao cho \(M\) là trực tâm của tam giác \(ABC\), suy ra \(OABC\) là tứ diện vuông, tức là \(OM \bot \left( {ABC} \right)\).

Mặt phẳng \(\left( P \right)\) qua \(M\left( {1;2;3} \right)\) có véctơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {OM}  = \left( {1;2;3} \right)\) có phương trình \(x + 2y + 3z - 14 = 0\).

Giao điểm \(A\) với \(Ox:A\left( {14;0;0} \right)\).

Giao điểm \(B\) với \(Oy:B\left( {0;7;0} \right)\)

Giao điểm \(C\) với \(Oz:C\left( {0;0;\frac{{14}}{3}} \right)\)

\(\overrightarrow {AB}  = \left( { - 14;7;0} \right),\overrightarrow {AC}  = \left( { - 14;0;\frac{{14}}{3}} \right)\), \(\overrightarrow {BC}  = \left( {0; - 7;\frac{{14}}{3}} \right)\).

Suy ra \(AB = 7\sqrt 5 ;AC = \frac{{14\sqrt {10} }}{3};BC = \frac{{7\sqrt {13} }}{3}\).

\({S_{\Delta ABC}} = \sqrt {p\left( {p - AB} \right)\left( {p - AC} \right)\left( {p - BC} \right)}  = \frac{{49\sqrt {14} }}{3}\).

\(d\left( {S,\left( P \right)} \right) = d\left( {S,\left( {ABC} \right)} \right) = \frac{{\left| {1 + 6 - 12 - 14} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {2^2} + {3^2}} }} = \frac{{19}}{{\sqrt {14} }}\).

\({V_{S.ABC}} = \frac{1}{3}{S_{\Delta ABC}} \cdot d\left( {S,\left( {ABC} \right)} \right) = \frac{1}{3} \cdot \frac{{49\sqrt {14} }}{3} \cdot \frac{{19}}{{\sqrt {14} }} = \frac{{931}}{{81}} \approx 11,5\).

Đáp án cần nhập là: \(11,5\).