(2,0 điểm) Cho hai đa thức:

\(A\left( x \right) = 3{x^4} - 2{x^2} + 12 - 3{x^4} + {x^3} + 2x - 15\);

\(B\left( x \right) = - {x^3} - 5{x^4} - 2x + 3{x^2} + 2 + 5{x^4} - 12x - 3 - {x^2}\).

(a) Thu gọn và sắp xếp các hạng tử hai đa thức trên theo luỹ thừa giảm dần của biến.

(b) Xác định hệ số cao nhất và hệ số tự do của đa thức \(A\left( x \right)\).

(c) Tìm đa thức \(M\left( x \right)\) sao cho \(A\left( x \right) = M\left( x \right) - B\left( x \right)\). Tìm nghiệm của đa thức \(M\left( x \right)\).

a) \(A\left( x \right) = 3{x^4} - 2{x^2} + 12 - 3{x^4} + {x^3} + 2x - 15\)

\( = \left( {3{x^4} - 3{x^4}} \right) + {x^3} - 2{x^2} + 2x + \left( {12 - 15} \right)\)

\( = {x^3} - 2{x^2} + 2x - 3\)

\(B\left( x \right) = - {x^3} - 5{x^4} - 2x + 3{x^2} + 2 + 5{x^4} - 12x - 3 - {x^2}\)

\( = \left( { - 5{x^4} + 5{x^4}} \right) - {x^3} + \left( {3{x^2} - {x^2}} \right) + \left( { - 2x - 12x} \right) + \left( {2 - 3} \right)\)

\( = - {x^3} + 2{x^2} - 14x - 1\)

b) Đa thức \(A\left( x \right)\) có hệ số cao nhất là \(1\) và hệ số tự do là \( - 3\).

d) Ta có \(M\left( x \right) = A\left( x \right) + B\left( x \right)\)

\(M\left( x \right) = \left( {{x^3} - 2{x^2} + 2x - 3} \right) + \left( { - {x^3} + 2{x^2} - 14x - 1} \right)\)

\( = {x^3} - 2{x^2} + 2x - 3 - {x^3} + 2{x^2} - 14x - 1\)

\( = - 12x - 4\)

Để tìm nghiệm của đa thức \(M\left( x \right)\), ta cho \(M\left( x \right) = 0\)

Do đó \( - 12x - 4 = 0\), suy ra \(x = - \frac{1}{3}\).

Vậy \(x = - \frac{1}{3}\) là nghiệm của đa thức \(M\left( x \right)\).