(0,5 điểm) Tìm \(a,b\) sao cho đa thức \(A\left( x \right) = {x^3} + ax + b\) chia cho đa thức \[x + 1\] thì dư 7, chia cho đa thức \(x - 3\) thì dư \( - 5\).

Cách 1:

• \(A\left( x \right)\) chia cho đa thức \(x + 1\) thì dư 7 nên ta có:

\(A\left( x \right) = \left( {x + 1} \right).Q\left( x \right) + 7\), trong đó \(Q\left( x \right)\) là thương của phép chia \(A\left( x \right)\) chia cho \(x + 1\).

Khi đó ta có \(A\left( { - 1} \right) = \left( { - 1 + 1} \right).Q\left( { - 1} \right) + 7\) hay \(A\left( { - 1} \right) = 7\).

Do đó \[{\left( { - 1} \right)^3} + a.\left( { - 1} \right) + b = 7\], suy ra \( - a + b = 8\,\,\,\,\left( 1 \right)\)

• Tương tự, \(A\left( x \right)\) chia cho đa thức \(x - 3\) thì dư \( - 5\) nên ta có: \(A\left( 3 \right) = - 5\)

Do đó \({3^3} + a.3 + b = - 5\), suy ra \(3a + b = - 32\,\,\,\,\left( 2 \right)\)

Từ \(\left( 1 \right)\) ta có \(b = a + 8\) thay vào \(\left( 2 \right)\) ta được: \(3a + \left( {a + 8} \right) = - 32\)

Suy ra \(4a = - 40\), nên \(a = - 10\).

Khi đó \(b = - 10 + 8 = - 2\).

Vậy \(a = - 10\), \(b = - 2\).

Cách 2: Thực hiện đặt tính chia đa thức:

• Thực hiện đặt tính chia đa thức \(A\left( x \right)\) cho \(x + 1\) như sau:

Để \(A\left( x \right)\) chia cho đa thức \(x + 1\) dư 7 thì \(b - a - 1 = 7\), hay \( - a + b = 8\,\,\,\left( 1 \right)\)

• Thực hiện đặt tính chia đa thức \(A\left( x \right)\) chia cho \(x - 3\) ta cũng được: \(3a + b = - 32\,\,\,\,\left( 2 \right)\)

Giải tương tự như Cách 1 ta có \(a = - 10\), \(b = - 2\).

Vậy \(a = - 10\), \(b = - 2\).