Trong không gian hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng $\left(P\right) 3x-2y+x-9=0$. Điểm M(a,b,c) thuộc mặt phẳng (P) sao cho $\left|MA - MB\right| max$, biết điểm A(-1;2;2), B(2;1;-1) Tính tổng T = a+b+c (Nhập đáp án vào ô trống)

Đáp án:  ___

 

Đáp án đúng là "-9"

Phương pháp giải

Lời giải

Xét vị trí của A và B so với mặt phẳng \(\left( P \right)\):

Ta có: \(P\left( A \right) = 3.\left( { - 1} \right) - 2.\left( 2 \right) + 2 - 6 =  - 11,P\left( B \right) = 3.2 - 2 - 1 - 6 =  - 3\)

Ta thấy: \(P\left( A \right).P\left( B \right) = 33 > 0 \Rightarrow \) A và B cùng phía so với mặt phẳng \(\left( P \right)\)

Để \(|MA - MB{|_{{\rm{max}}}}\) thì \(M = AB \cap \left( P \right)\)

Lập phương trình đường thẳng \(AB\)

\(\overrightarrow {AB}  = \left( {3; - 1; - 3} \right)\)

Phương trình đường thẳng \(AB\) có dạng: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x =  - 1 + 3t}\\{y = 2 - t}\\{y = 2 - 3t}\end{array}} \right.\) với \(t \in \mathbb{R}\)

Tọa độ \(M\) là nghiệm của hệ phương trình:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x =  - 1 + 3t}\\{y = 2 - t}\\{z = 2 - 3t}\\{3x - 2y + z - 9 = 0}\end{array} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x =  - 1 + 3t}\\{y = 2 - t}\\{z = 2 - 3t}\\{3\left( { - 1 + 3t} \right) - 2\left( {2 - t} \right) + 2 - 3t - 9 = 0}\end{array} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x =  - 5}\\{y = 0}\\{z =  - 4}\\{t = 2}\end{array}} \right.} \right.} \right. \Rightarrow M\left( { - 5;0; - 4} \right)\)