Một trường đại học kiểm tra sinh viên gian lận trong thi cử bằng máy kiểm tra gian lận. Theo thống kê có \(5{\rm{\% }}\) số sinh viên gian lận. Nếu sinh viên gian lận máy báo gian lận chính xác là \(95{\rm{\% }}\). Nếu không gian lận thì khả năng báo nhầm là \(3{\rm{\% }}\). Nếu máy phát hiện ra một sinh viên gian lận thì xác suất để sinh viên đó thực sự gian lận là bao nhiêu?

Đáp án đúng là C

Phương pháp giải

xác suất có điều kiện

Lời giải

Gọi A: "Sinh viên gian lận"

B: "Máy báo sinh viên gian lận"

Xác suất sinh viên gian lận là \(P\left( A \right) = 0,05 \Rightarrow \) Xác suất sinh viên không gian lận là \(P\left( {\overline A } \right) = 0,95\)

Nếu sinh viên thật sự gian lận, xác suất máy báo đúng là: \(P\left( {B\mid A} \right) = 0,95\)

Nếu sinh viên không gian lận, xác suất máy báo sai là: \(P\left( {B\mid \overline A } \right) = 0.05\)

Yêu cầu bài toán tương ứng tính xác suất sinh viên thực sự gian lận khi máy báo gian lận \(P\left( {A\mid B} \right)\)

Theo công thức Bayes ta có: \(P\left( {A\mid B} \right) = \frac{{P\left( {B|A} \right).P\left( A \right)}}{{P\left( B \right)}}\)

Xác suất máy báo do sinh viên thực sự gian lận là: \(P\left( {B|A} \right).P\left( A \right) = 0,95.0.05 = 0.0475\)

Xác suất máy báo do sinh viên không gian lận là: \(P\left( {B|\overline A } \right).P\left( {\overline A } \right) = 0,05.0,95 = 0,0475\)

Tổng xác suất máy báo gian lận:

\(P\left( B \right) = P\left( {B|A} \right).P\left( A \right) + P\left( {B|\overline A } \right).P\left( {\overline A } \right) = 0.0475 + 0,0475 = 0,095\)

Vậy xác suất cần tìm \(P\left( {A\mid B} \right) = \frac{{P\left( {B|A} \right).P\left( A \right)}}{{P\left( B \right)}} = 0,5\)