Trong hệ trục tọa độ Oxyz cho đường thẳng $d: \left\{\begin{array}{l}x= -2+t\\ y=1+t\\ z= -t\end{array}\right.$ với $t\in R$, điểm A(-1;2;1). Gọi H là hình chiếu của A trên d. Có bao nhiêu điểm A' sao cho 3 điểm A, A', H thẳng hàng và A'H = 3AH? (nhập đáp án vào ô trống)

Đáp án:  __

 

Đáp án đúng là "2"

Phương pháp giải

Xác định tọa độ hình chiếu \(H\). Cần chú ý đến vecto cùng chiều và ngược chiều

Lời giải

Đường thẳng \(d:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x =  - 2 + t}\\{y = 1 + t}\\{z =  - t}\end{array}} \right.\) có vecto chỉ phương: \(\overrightarrow {{u_d}}  = \left( {1;1; - 1} \right)\)

\(H\) là hình chiếu của \(A\) trên \(d \Rightarrow H\left( { - 2 + t;1 + t; - t} \right) \Rightarrow \overrightarrow {AH}  = \left( { - 1 + t;t - 1; - t - 1} \right)\)

Vì \(H\) là hình chiếu của \(A\) trên \(d\) nên

\(\overrightarrow {AH} .\overrightarrow {{u_d}}  = 0 \Rightarrow  - 1 + t + t - 1 - \left( { - t - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow t = \frac{1}{3}\)

\( \Rightarrow H\left( {\frac{{ - 5}}{3};\frac{4}{3}; - \frac{1}{3}} \right)\)

Để ba điểm \(A,H,A'\) thẳng hàng và \({\rm{A}}{{\rm{A}}} = 3AH\) thì chúng ta có hai trường hợp

\({\rm{TH}}1:\overrightarrow {AA'}  = 3\overrightarrow {AH} \). Trường hợp này cho chúng ta tọa độ 1 điểm \({\rm{A'}}\)

\({\rm{TH}}2:\overrightarrow {AA'}  =  - 3\overrightarrow {AH} \). Trường hợp này cho chúng ta tọa độ 1 điểm \({\rm{A'}}\)

Vậy có 2 điểm \(A'\) thỏa mãn yêu cầu bài toán