Trong hệ trục tọa độ \(Oxyz\), cho điểm \(A\left( {2;2; - 1} \right)\), đường thẳng \({\rm{\Delta }}:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 3t}\\{y = - 2 + t}\\{z = 1 - t}\end{array}} \right.\), với \(t \in \mathbb{R}\), mặt phẳng \(\left( P \right)2x - 2y + z - 1 = 0\). Gọi \(d\) là đường thẳng đi qua \(A\), nằm trong mặt phẳng \(\left( P \right)\) và tạo với \({\rm{\Delta }}\) một góc bé nhất là \(\alpha \). Tính \({\rm{sin}}\alpha \)?

Đáp án đúng là C

Phương pháp giải

Dùng công thức tính \({\rm{cos}}\alpha \)

Lời giải

Ta có \(:\overrightarrow {{n_{\left( P \right)}}} = \left( {2; - 2;1} \right),\overrightarrow {{u_{\rm{\Delta }}}} = \left( {1;1; - 1} \right)\)

Góc \(\alpha \) là góc giữa đường thẳng \(d\) và \({\rm{\Delta }}\). Khi đó góc \(\alpha \) nhỏ nhất \( \Leftrightarrow \) đường thẳng \(d\) và hình chiếu vuông góc của \({\rm{\Delta }}\) trên mặt phẳng \(\left( P \right)\) song song với nhau

Gọi \({\rm{\Delta '}}\) là hình chiếu vuông góc của \({\rm{\Delta }}\) trên mặt phẳng \(\left( P \right) \Rightarrow \overrightarrow {{u_{{\rm{\Delta '}}}}} = \overrightarrow {{u_d}} \)

Gọi \(\left( Q \right)\) là mặt phẳng chứa \({\rm{\Delta }}\) và vuông góc với mặt phẳng \(\left( P \right)\). Khi đó \({\rm{\Delta '}} = \left( Q \right) \cap \left( P \right)\)

Ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\overrightarrow {{n_{\left( Q \right)}}} \bot \overrightarrow {{u_{\rm{\Delta }}}} }\\{\overrightarrow {{n_{\left( Q \right)}}} \bot \overrightarrow {{n_{\left( P \right)}}} }\end{array} \Rightarrow \overrightarrow {{n_{\left( Q \right)}}} = \left[ {\overrightarrow {{u_{\rm{\Delta }}}} ,\overrightarrow {{n_{\left( P \right)}}} } \right]} \right.\) (1)

Tương tự ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\overrightarrow {{u_{{\rm{\Delta '}}}}} \bot \overrightarrow {{n_{\left( Q \right)}}} }\\{\overrightarrow {{u_{{\rm{\Delta '}}}}} \bot \overrightarrow {{n_{\left( P \right)}}} }\end{array} \Rightarrow \overrightarrow {{n_{{\rm{\Delta '}}}}} = \left[ {\overrightarrow {{n_{\left( Q \right)}}} ,\overrightarrow {{n_{\left( P \right)}}} } \right]} \right.\) (2)

Từ \(\left( 1 \right);\left( 2 \right) \Rightarrow \overrightarrow {{n_{{\rm{\Delta '}}}}} = \left[ {\overrightarrow {{n_{\left( P \right)}}} ,\left[ {\overrightarrow {{n_{\left( P \right)}}} ,\overrightarrow {{u_{\rm{\Delta }}}} } \right]} \right] = \left( { - 11; - 7; - 8} \right)\)

\( \Rightarrow \) Đường thẳng \(d\) có một vecto chỉ phương là: \(\overrightarrow {{u_d}} = \left( { - 11; - 7;8} \right)\)

Phương trình đường thẳng \(d\) là: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 2 - 11t'}\\{y = 2 - 7t'}\\{z = - 1 + 8t'}\end{array}} \right.\) với \(t' \in \mathbb{R}\)

\( \Rightarrow {\rm{cos}}\alpha = \frac{{\left| {\overrightarrow {{u_d}} .\overrightarrow {{u_{\rm{\Delta }}}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{u_d}} } \right|.\left| {\overrightarrow {{u_{\rm{\Delta }}}} } \right|}} = \frac{{\left| { - 11.1 - 7.1 + 8\left( { - 1} \right)} \right|}}{{3\sqrt 3 .\sqrt {26} }} = \frac{{26}}{{3\sqrt {3.26} }} = \frac{{\sqrt {78} }}{9}\)

Vì góc giữa hai đường thẳng là góc có số đo từ \({0^ \circ }\) đến \({90^ \circ }\) nên \({\rm{sin}}\alpha > 0\)

Ta có \(:{\rm{sin}}\alpha = \sqrt {1 - {\rm{co}}{{\rm{s}}^2}\alpha } = \sqrt {1 - \frac{{26}}{{27}}} = \frac{{\sqrt 3 }}{9}\)