Cho hình chóp \(S.ABC\) có đáy là tam giác vuông tại C. \(\widehat {ABC} = {30^ \circ }\). Tam giác \(SAC\) đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi M là điểm thuộc SC sao cho mặt phẳng \(\left( {MAB} \right)\) tạo với mặt phẳng \(\left( {SAB} \right)\) và mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) các góc bằng nhau. Tính tỉ số \(\frac{{SM}}{{MC}}\)?

Đáp án đúng là A

Phương pháp giải

Lời giải

Gọi H là trung điểm của AC

\(\left. {\begin{array}{*{20}{l}}{\left( {SAC} \right) \bot \left( {ABC} \right)}\\{SH \bot AC}\\{AC = \left( {SAC} \right) \cap \left( {ABC} \right)}\\{SH \subset \left( {SAC} \right)}\end{array}} \right\} \Rightarrow SH \bot \left( {ABC} \right)\)

Gọi \(\alpha \) là góc giữa mặt phẳng \(\left( {MAB} \right)\) và mặt phẳng \(\left( {ABC} \right),\beta \) là góc giữa mặt phẳng \(\left( {SAB} \right)\) và (MAB)

Ta có: \({\rm{sin}}\beta = \frac{{d\left( {S,\left( {MAB} \right)} \right)}}{{d\left( {S,AB} \right)}},{\rm{sin}}\alpha = \frac{{d\left( {C,\left( {MAB} \right)} \right)}}{{d\left( {C,AB} \right)}}\)

Gọi K là hình chiếu của \(C\) lên \(AB\), I là trung điểm AK.

Giả sử \(AC = a \Rightarrow BC = a\sqrt 3 ;SH = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\)

Xé tam giác \(ABC\) vuông tại C có CK là đường cao. Ta có:

\(d\left( {C,AB} \right) = CK = CB.{\rm{sin}}{30^ \circ } = \frac{{a\sqrt 3 }}{2};HI = \frac{{CK}}{2} = \frac{{a\sqrt 3 }}{4}\)

Mà: \(\left. {\begin{array}{*{20}{l}}{SH \bot AB}\\{HI \bot AB}\end{array}} \right\} \Rightarrow SI \bot AB \Rightarrow d\left( {S,AB} \right) = SI = \sqrt {S{H^2} + H{I^2}} = \frac{{a\sqrt {15} }}{4}\)

Theo bài ra ta có: