Trong hệ trục tọa độ \(Oxyz\) cho tứ diện đều \(OBCD\) có \(B\left( {1;0;0} \right)\),\(C\left( {\frac{1}{2};\frac{{\sqrt 3 }}{2},0} \right),D\left( {\frac{1}{2},\frac{{\sqrt 3 }}{6},\frac{{\sqrt 6 }}{3}} \right)\). Xác định mặt cầu có tâm trùng với trọng tâm của tứ diện và đi qua điểm \(A\left( {2; - 1;3} \right)\).

Đáp án đúng là D

Phương pháp giải

Tâm của tứ diện đều là trung điểm của đoạn thẳng nối trung điểm của hai cạnh đối diện của tứ diện

Lời giải

Gọi \(M,N\) lần lượt là trung điểm của \(OD,BC \Rightarrow M\left( {\frac{1}{4};\frac{{\sqrt 3 }}{{12}};\frac{{\sqrt 6 }}{6}} \right),N\left( {\frac{3}{4};\frac{{\sqrt 3 }}{4};0} \right)\)

Gọi G là trọng tâm tứ diện \( \Rightarrow G\left( {\frac{1}{2};\frac{{\sqrt 3 }}{6};\frac{{\sqrt 6 }}{{12}}} \right)\)

Ta có \(:\overrightarrow {GA} = \left( {\frac{3}{2};\frac{{ - 6 - \sqrt 3 }}{6};\frac{{36 - \sqrt 6 }}{{12}}} \right)\)

\( \Rightarrow G{A^2} = \frac{{99}}{8} + \frac{{\sqrt 3 }}{3} - \frac{{\sqrt 6 }}{2}\)

Vậy phương trình mặt cầu cần tìm là:

\({\left( {x - \frac{1}{2}} \right)^2} + {\left( {y - \frac{{\sqrt 3 }}{6}} \right)^2} + {\left( {z - \frac{{\sqrt 6 }}{{12}}} \right)^2} = \frac{{99}}{8} + \frac{{\sqrt 3 }}{3} - \frac{{\sqrt 6 }}{2}\)