Một đường ống dẫn dầu dài 100 km có tiết diện thay đổi dọc theo chiều dài ống. Vận tốc dòng chảy tại điểm cách đầu ống x km được mô tả bởi hàm \(v\left( x \right) = \frac{{300}}{{1 + {x^2}}}\left( {{\rm{km}}/{\rm{h}}} \right)\). Tiết diện của đường ống cũng thay đổi theo chiều dài và được cho bởi hàm \(A\left( x \right) = 0,5 + 0,1{\rm{sin}}x\left( {{m^2}} \right)\). Tính tổng lượng dầu chảy qua đoạn đường ống trong 5h đầu tiên? Tất cả kết quả làm tròn theo quy tắc làm tròn đến hàng đơn vị.

Đáp án đúng là C

Phương pháp giải

Tổng lượng dầu có thể tính bằng tích phân của lưu lượng \(Q\left( x \right) = v\left( x \right).A\left( x \right)\) trên đoạn chiều dài trong thời gian cho trước.

Lời giải

Lưu lượng dầu tại điểm cách đầu ống dầu \(x{\rm{\;km}}\) là tích của vận tốc dòng chảy và tiết diện ống dẫn

\(Q\left( x \right) = v\left( x \right).A\left( x \right) = \frac{{300}}{{1 + {x^2}}}\left( {0,5 + 0,1{\rm{sin}}x} \right) = \frac{{150 + 30{\rm{sin}}x}}{{1 + {x^2}}}\)

Lượng dầu chảy qua ống trong thời gian t là tích phân của lưu lượng \(Q\left( x \right)\) theo x và thay đổi theo thời gian. Tuy nhiên, do lưu lượng \(Q\left( x \right)\) phụ thuộc vào vị trí x, nên ta cần xác định khoảng cách \(x\) mà dầu đi trong 5 giờ đầu.

Tại mỗi thời điểm \(t\), vận tốc dòng chảy có thể được mô tả bởi công thức

\(v\left( x \right) = \frac{{d\left( x \right)}}{{d\left( t \right)}} \Rightarrow \frac{{d\left( x \right)}}{{d\left( t \right)}} = \frac{{300}}{{1 + {x^2}}} \Rightarrow dt = \frac{{1 + {x^2}}}{{300}}dx\)

Vậy lưu lượng dầu chảy trong 5h đầu tiên là: