Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC cân tại A có diện tích bằng 20. Đỉnh B và C nằm trên đường thẳng: x-y-5 = 0 , điểm A(1;-2). Đỉnh B có tọa độ dạng B(a,b), với a>0. Tính tổng a+b? (Nhập đáp án vào ô trống)

Đáp án:  ___

 

Đáp án đúng là "19"

Phương pháp giải

Từ diện tích tam giác \(ABC\) ta xác định được độ dài \(BC \Rightarrow B,C\) là giao điểm của đường thẳng chứa \(B,C\) và đường tròn tâm \(A\), bán kính \(AB = AC\)

Lời giải

Khoảng cách từ \(A\) đến đường thẳng \(BC\) là: \(d\left( {A,BC} \right) = \frac{{\left| {1 + 2 - 5} \right|}}{{\sqrt 2 }} = \sqrt 2 \)

\( \Rightarrow {S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{2}d\left( {A,BC} \right).BC \Rightarrow BC = \frac{{2.S}}{{d\left( {A,BC} \right)}} = \frac{{2.20}}{{\sqrt 2 }} = 20\sqrt 2 \)

Vì \(\Delta ABC\) cân tại \(A \Rightarrow AB = AC = \sqrt {{{\left( {d\left( {A,BC} \right)} \right)}^2} + {{\left( {\frac{{BC}}{2}} \right)}^2}}  = \sqrt {2 + 200}  = \sqrt {202} \)

Phương trình đường tròn tâm \(A\) bán kính là \(AB\) là: \({(x - 1)^2} + {(y + 2)^2} = 202\)

Tọa độ \({\rm{B}},{\rm{C}}\) là giao điểm của đường thẳng \(x - y - 5 = 0\) và đường tròn \({(x - 1)^2} + {(y + 2)^2} = 202\)

Vì B nằm trên đường thẳng: \(x - y - 5 = 0 \Rightarrow a - b - 5 = 0 \Rightarrow a = b + 5\)

B nằm trên đường tròn \({(x - 1)^2} + {(y + 2)^2} = 202 \Rightarrow {(a - 1)^2} + {(b + 2)^2} = 202\)

Thay \(a = b + 5\) vào phương trình \({(a - 1)^2} + {(b + 2)^2} = 202\) ta được:

\({(b + 5 - 1)^2} + {(b + 2)^2} = 202 \Leftrightarrow 2{b^2} + 12b - 182 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{b = 7}\\{b =  - 13}\end{array}} \right. \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{b = 7 \Rightarrow a = 12}\\{b =  - 13 \Rightarrow a =  - 8 < 0\left( L \right)}\end{array}} \right.\)

Vậy điểm \(B\left( {12;7} \right)\)

Tổng \(a + b = 19\)