Cho hàm số \(f\left( x \right) = {x^3} - 3{x^2} + 1\) và \(g\left( x \right) = f\left( {\left| {f\left( x \right)} \right| - m} \right)\) cùng với \(x = - 1;x = 1\) là hai điểm cực trị trong nhiều điểm cực trị của hàm số \(y = g\left( x \right)\). Khi đó số điểm cực trị của hàm \(y = g\left( x \right)\) là:

Đáp án đúng là B

Phương pháp giải

Khảo sát hàm số: \(g\left( x \right) = f\left( {\left| {f\left( x \right)} \right| - m} \right)\).

Sử dụng công thức tính nhanh đạo hàm: \(|f\left( x \right){|} = \frac{{f\left( x \right).f'\left( x \right)}}{{\sqrt {{f^2}\left( x \right)} }}\)

Lời giải

Ta có: \(f\left( x \right) = {x^3} - 3{x^2} + 1\) và \(g\left( x \right) = f\left( {\left| {f\left( x \right)} \right| - m} \right);f\left( { - 1} \right) = - 3;f\left( 1 \right) = - 1\);

\( \Rightarrow g'\left( x \right) = {\left( {\left| {f\left( x \right)} \right|} \right)}.f'\left( {\left| {f\left( x \right)} \right| - m} \right) = \frac{{f\left( x \right)f'\left( x \right)}}{{\sqrt {{f^2}\left( x \right)} }}.f'\left( {\left| {f\left( x \right)} \right| - m} \right) = 0\)

\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 0;x = 2}\\{\left| {f\left( x \right)} \right| - m = 0}\\{\left| {f\left( x \right)} \right| - m = 2}\end{array} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 0;x = 2}\\{\left| {f\left( x \right)} \right| = m}\\{\left| {f\left( x \right)} \right| = m + 2}\end{array}} \right.} \right.\) (*)

Mặt khác, \(f\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = {a_1} \in \left( { - 1;0} \right) \approx - 0.53}\\{x = {b_1} \in \left( {0;1} \right) \approx 0.65}\\{x = {c_1} \in \left( {2;3} \right) \approx 2.8}\end{array}} \right.\) nên các điểm \(x = {a_1};x = {b_1};x = {c_1}\) là các điểm cực trị của \(g\left( x \right)\).

Để hai điểm \(x = - 1;x = 1\) là hai điểm cực trị của hàm số \(y = g\left( x \right)\) thì hai giá trị \(x\) đó phải là nghiệm của hệ phương trình: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left| {f\left( x \right)} \right| = m}\\{\left| {f\left( x \right)} \right| = m + 2}\\{\left| {f\left( { - 1} \right)} \right| = 3;\left| {f\left( 1 \right)} \right| = 1;}\end{array}} \right.}\end{array} \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{m = 3}\\{m = 1}\\{m + 2 = 3}\\{m + 2 = 1}\end{array} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{m = - 1}\\{m = 1}\\{m = 3}\end{array}} \right.} \right.} \right.\).

Với \(m = 3\) thì suy ra \(\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{\left| {f\left( x \right)} \right| = 3}\\{\left| {f\left( x \right)} \right| = 5}\end{array}} \right.\), tới đây ta nhận thấy hệ phương trình trên không có nghiệm \(x = - 1;x = 1\) nên ta loại

Với \(m = - 1\) thì suy ra \(\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{\left| {f\left( x \right)} \right| = - 1}\\{\left| {f\left( x \right)} \right| = 1}\end{array}} \right.\), tới đây ta nhận thấy hệ phương trình kia không có nghiệm \(x = - 1\) nên ta loại

Với \(m = 1\) thì suy ra \(\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{\left| {f\left( x \right)} \right| = 1}\\{\left| {f\left( x \right)} \right| = 3}\end{array}} \right.\). Do hệ phương trình này có hai nghiệm \(x = - 1;x = 1\) nên hệ phương trình tương đương với (dựa vào đồ thị hình bên)

\( \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = a \in \left( { - 1;0} \right)}\\{x = 0}\\{x = 1}\\{x = b \in \left( {2;3} \right)}\\{x = 3}\\{x = - 1}\\{x = 2}\\{x = c \in \left( {3,4} \right)}\end{array}} \right.\)

Do \(x = 0,x = 2\) là nghiệm bội chẵn nên \(\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = a \in \left( { - 1;0} \right)}\\{x = 1}\\{x = b \in \left( {2;3} \right)}\\{x = 3}\\{x = - 1}\\{x = c \in \left( {3,4} \right)}\end{array}{\rm{\;}}} \right.\) là 6 nghiệm bội lẻ.

Như vậy hệ phương trình (*) có tổng cộng 11 nghiệm tương đương với hàm số \(y = g\left( x \right)\) có 11 điểm cực trị thỏa đề bài.