Trong không gian \(Oxyz\) cho mặt cầu \(\left( S \right):{(x - 1)^2} + {(y - 1)^2} + {z^2} = 9\) và mặt phẳng \(\left( P \right):2x - 2y + z - 20 = 0\). Gọi \({M_1}\left( {{x_1};{y_1};{z_1}} \right),{M_2}\left( {{x_2};{y_2};{z_2}} \right)\) là hai điểm thuộc \(\left( S \right)\) sao cho \(d\left( {{M_1};\left( P \right)} \right)\) đạt giá trị lớn nhất và \(d\left( {{M_2},\left( P \right)} \right)\) đạt giá trị nhỏ nhất. Tính \(T = {x_1} + {x_2} + {y_1} + {y_2} + {z_1} + {z_2}\)?

Đáp án đúng là A

Phương pháp giải

Xác định vị trí tương đối của mặt cầu so với mặt phẳng sau đó đánh giá

Lời giải

Mặt cầu \(\left( S \right):{(x - 1)^2} + {(y - 1)^2} + {z^2} = 9\) có tâm \(I\left( {1;1;0} \right)\), bán kính \(R = 3\)

Mặt phẳng \(\left( P \right):2x - 2y + z - 20 = 0\) có vecto pháp tuyến \(\overrightarrow {{n_{\left( P \right)}}} = \left( {2; - 2;1} \right)\)

Ta có: \(d\left( {I;\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {2 - 2 + 0 - 20} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {2^2} + 1} }} = \frac{{20}}{3} > R = 3\) nên mặt phẳng \(\left( P \right)\) và mặt cầu \(\left( S \right)\) không có điểm chung.

Gọi \({\rm{\Delta }}\) là đường thẳng qua \(I\left( {1;1;0} \right)\) và vuông góc với mặt phẳng \(\left( P \right)\)

\( \Rightarrow {\rm{\Delta }}:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1 + 2t}\\{y = 1 - 2t{\rm{\;}}\left( {t \in \mathbb{R}} \right).}\\{z = t}\end{array}} \right.\)

Tọa độ giao điểm của đường thẳng \({\rm{\Delta }}\) và mặt cầu \(\left( S \right)\) là nghiệm hệ phương trình:

\[\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1 + 2t}\\{y = 1 - 2t}\\{z = t}\\{{{(x - 1)}^2} + {{(y - 1)}^2} + {z^2} = 9}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1 + 2t}\\{y = 1 - 2t}\\{z = t}\\{{{(1 + 2t - 1)}^2} + {{(1 - 2t - 1)}^2} + {{(t)}^2} = 9}\end{array}} \right.} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1 + 2t}\\{y = 1 - 2t}\\{z = t}\\{t = \pm 1}\end{array}} \right.\]

\( \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{N\left( {3; - 1;1} \right)}\\{Q\left( { - 1;3; - 1} \right)}\end{array}} \right.\).

\({M_1},{M_2}\) là hai điểm thuộc \(\left( S \right)\) sao cho \(d\left( {{M_1},\left( P \right)} \right)\) đạt giá trị lớn nhất và \(d\left( {{M_2},\left( P \right)} \right)\) đạt giá trị nhỏ nhất \( \Leftrightarrow {M_1},{M_2}\) là giao điểm của đường thẳng \({\rm{\Delta }}\) và mặt cầu \(\left( S \right)\).

Vì \(d\left( {N,\left( P \right)} \right) = \frac{{11}}{3} < d\left( {Q,\left( P \right)} \right) = \frac{{29}}{3} \Rightarrow {M_2} \equiv N;{M_1} \equiv Q\).

Suy ra \({M_1}\left( { - 1;3; - 1} \right)\) và \({M_2}\left( {3; - 1;1} \right)\).

\(T = {x_1} + {x_2} + {y_1} + {y_2} + {z_1} + {z_2} = - 1 + 3 + 3 - 1 - 1 + 1 = 4\)