Người ta muốn xây một đoạn đường \(AB\) (như hình vẽ) và đoạn đường này phải đi qua điểm \(M\) Biết rằng vị trí điểm \(M\) cách \(OD\;125m\) và cách \(OE\;1{\rm{km}}\). Giả sử chi phí để làm 100 m đường là 150 triệu đồng. Chọn vị trí của \(A\) và \(B\) để hoàn thành con đường với chi phí thấp nhất. Hỏi chi phí thấp nhất để hoàn thành được con đường là bao nhiêu? (Làm tròn kết quả đến số thập phân thứ nhất)

Đáp án: ____

Gọi \(B\left( {m;0} \right),A\left( {0;n} \right){\rm{\;}}(m,n > 0)\).
Khi đó ta có phương trình theo đoạn chắn là \(\frac{x}{m} + \frac{y}{n} = 1\).
Do đường thẳng đi qua \(M\left( {\frac{1}{8};1} \right)\) nên \(\frac{1}{{8m}} + \frac{1}{n} = 1\)
\( \Rightarrow \frac{1}{n} = 1 - \frac{1}{{8m}} = \frac{{8m - 1}}{{8m}} \Rightarrow n = \frac{{8m}}{{8m - 1}}\).
Có \(A{B^2} = {m^2} + {n^2} = {m^2} + \left( {\frac{{8m}}{{8m - 1}}} \right) = f\left( m \right)\).
Xét hàm số \(f\left( m \right)\), ta có :
\(f'\left( m \right) = 2m + 2.\frac{{8m}}{{8m - 1}}.\frac{{ - 8}}{{{{(8m - 1)}^2}}} = 2m.\left( {1 - \frac{{64}}{{{{(8m - 1)}^3}}}} \right);\)\(f'\left( m \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{m = 0{\rm{\;(loai)\;}}}\\{1 - \frac{{64}}{{{{(8m - 1)}^2}}} = 0}\end{array}} \right.\)\( \Leftrightarrow {(8m - 1)^3} = 64 \Leftrightarrow m = \frac{5}{8}\)

   \(f\left( m \right) \ge f\left( {\frac{5}{8}} \right) = {\left( {\frac{5}{8}} \right)^2} + {\left( {\frac{{8 \cdot \frac{5}{8}}}{{8 \cdot \frac{5}{8} - 1}}} \right)^2} = \frac{{25}}{{64}} + \frac{{25}}{{16}} = \frac{{125}}{{64}}\)

         \( \Rightarrow AB \ge \sqrt {\frac{{125}}{{64}}}  = \frac{{5\sqrt 5 }}{8}\)

Vậy quãng đường ngắn nhất là \(\frac{{5\sqrt 5 }}{8}\left( {{\rm{\;km}}} \right)\)
Giá để làm 1km đường là 1500 triệu đồng \( = 1,5\) tỷ đồng nên khi đó chi phí thấp nhất để hoàn thành con đường là \(\frac{{5\sqrt 5 }}{8} \cdot 1,5 \approx 2,1\)（tỷ đồng）．