Cho tứ diện ABCD có BCD là tam giác vuông tại đỉnh \(B\), cạnh \(CD = a,BD = \frac{{a\sqrt 6 }}{3},AB = AC = AD = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\). Tính cosin của góc nhị diện \(\left[ {{\rm{A}},{\rm{BC}},{\rm{D}}} \right]\).

Phương pháp giài

Xác định góc nhị diện \(\left[ {{\rm{A}},{\rm{BC}},{\rm{D}}} \right]\).

Giải chi tiết

Gọi \({\rm{M}},{\rm{H}}\) lằn lượt là trung điểm của \({\rm{BC}},{\rm{C}}{\bf{D}}.\)
Do  vuông tại \(B\) nên \(BH = CH = DH\) hay \(H\) là tâm đường tròn ngoại tiếp .
Mà \(AB = AC = AD\) nên \(AH\) là đường cao kẻ từ \(A\) xuống ( \(BCD\) ) hay \(AH \bot \left( {BCD} \right)\).
\( \Rightarrow AH \bot BC\).
\({\rm{M}},{\rm{H}}\) là trung điểm của \({\rm{BC}},{\rm{CD}}\) nên MH là đường trung bình của
\( \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{}\\{}\end{array}} \right.\begin{array}{*{20}{l}}{MH = \frac{1}{2}BD = \frac{{a\sqrt 6 }}{6}}\\{MH//BD}\end{array}\).
Mà \(MD \bot BC\) nên \(MH \bot BC\). (2)
Từ (1), (2) suy ra: \(BC \bot \left( {AMH} \right)\).
Suy ra: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{}\\{}\end{array}} \right.\begin{array}{*{20}{l}}{BC \bot AM}\\{RC \bot MH}\end{array} \Rightarrow \left[ {A,BC,D} \right] = \angle AMH\).

Lại có: \(AH = \sqrt {A{C^2} - C{H^2}} = \sqrt {{{\left( {\frac{{a\sqrt 3 }}{2}} \right)}^2} - {{\left( {\frac{a}{2}} \right)}^2}} = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\).
\({\rm{tan}}\angle AMH = \frac{{AH}}{{MH}} = \sqrt 3 \Rightarrow \angle AMH = \frac{\pi }{3} \Rightarrow {\rm{cos}}\angle AMH = \frac{1}{2}\).

Đáp án cần chọn là: B