PHẦN I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn.Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu thí sinh chỉ chọn một phương án.

Cho hàm số \(y = \frac{{ax + b}}{{cx + d}}{\rm{ }}\left( {ac \ne 0;ad - bc \ne 0} \right)\) có đồ thị như hình vẽ dưới đây. Trong các hệ số \(a,b,c,d\)có bao nhiêu số dương?

1. Tính các đại lượng ở đáy \[ABC\]:

Gọi \(M\) là trung điểm của \[BC\].

 Vì \(\Delta ABC\) cân tại \(A\) nên \(AM \bot BC\). Ta có \(BM = MC = \frac{{BC}}{2} = 2\).

Trong \(\Delta ABM\) vuông tại \(M\): \(AM = \sqrt {A{B^2} - B{M^2}}  = \sqrt {{3^2} - {2^2}}  = \sqrt 5 \).

Vì \(H\) là trực tâm \(\Delta ABC\) nên \(H\) nằm trên đường cao AM.

Ta có \(\widehat {BHM} = \hat C\) (vì cùng phụ với \(\widehat {HBC}\)).

Trong \(\Delta AMC\) vuông tại \(M\): \(\tan C = \frac{{AM}}{{MC}} = \frac{{\sqrt 5 }}{2}\).

 Trong \(\Delta BHM\) vuông tại \(M\): \(HM = BM \cdot \cot \widehat {BHM} = BM \cdot \frac{1}{{\tan C}} = 2 \cdot \frac{2}{{\sqrt 5 }} = \frac{4}{{\sqrt 5 }}\).

Áp dụng định lý Pytago cho \(\Delta HMC\) vuông tại \(M\):

\(HC = \sqrt {H{M^2} + M{C^2}}  = \sqrt {{{\left( {\frac{4}{{\sqrt 5 }}} \right)}^2} + {2^2}}  = \frac{6}{{\sqrt 5 }}\)

2. Xác định góc \(\alpha \) và khoảng cách:

 Ta có: \(BC \bot AM\) và \(BC \bot SA \Rightarrow BC \bot (SAM)\).

Từ đó suy ra: \((SBC) \bot (SAM)\) theo giao tuyến SM.

Trong mặt phẳng \((SAM)\), kẻ \(HP \bot SM\) tại \(P\). Vì \((SBC) \bot (SAM)\) nên \(HP \bot (SBC)\).

Do đó, \(P\) là hình chiếu vuông góc của \(H\) lên mặt phẳng \((SBC)\). Góc giữa \[CH\] và mặt phẳng \[\left( {SBC} \right)\] chính là góc \(\widehat {HCP} = \alpha \).

3. Tính \(\cos \alpha \):

 Trong \(\Delta SAM\) vuông tại \(A\): \(SM = \sqrt {S{A^2} + A{M^2}}  = \sqrt {{4^2} + 5}  = \sqrt {21} \).

 Xét \(\Delta HPM\) vuông tại \(P\), ta có \(\sin \widehat {SMP} = \frac{{SA}}{{SM}} = \frac{4}{{\sqrt {21} }}\).

\(HP = HM \cdot \sin \widehat {SMP} = \frac{4}{{\sqrt 5 }} \cdot \frac{4}{{\sqrt {21} }} = \frac{{16}}{{\sqrt {105} }}\)

Xét \(\Delta HPC\) vuông tại \(P\):

\(\sin \alpha  = \frac{{HP}}{{HC}} = \frac{{\frac{{16}}{{\sqrt {105} }}}}{{\frac{6}{{\sqrt 5 }}}} = \frac{{16}}{{6\sqrt {21} }} = \frac{8}{{3\sqrt {21} }}\)

 Suy ra giá trị của \(\cos \alpha \):

\(\cos \alpha  = \sqrt {1 - {{\sin }^2}\alpha }  = \sqrt {1 - \frac{{64}}{{9 \cdot 21}}}  = \sqrt {\frac{{125}}{{189}}}  = \frac{{5\sqrt {105} }}{{63}}\)

Kết luận: \(\cos \alpha  = \frac{{{\bf{5}}\sqrt {{\bf{105}}} }}{{{\bf{63}}}}\).