Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình chữ nhật, cạnh bên \(SA\) vuông góc với mặt đáy. Biết \(SA = 2,AB = \sqrt 2 ,AC = \sqrt 3 \). Gọi \(O\) là giao điểm 2 đường chéo \(AC\) và \(BD\). Khi đó, các mệnh đề sau đúng hay sai?

1. Tính các đại lượng ở đáy \[ABC\]:

Gọi \(M\) là trung điểm của \[BC\].

 Vì \(\Delta ABC\) cân tại \(A\) nên \(AM \bot BC\). Ta có \(BM = MC = \frac{{BC}}{2} = 2\).

Trong \(\Delta ABM\) vuông tại \(M\): \(AM = \sqrt {A{B^2} - B{M^2}}  = \sqrt {{3^2} - {2^2}}  = \sqrt 5 \).

Vì \(H\) là trực tâm \(\Delta ABC\) nên \(H\) nằm trên đường cao AM.

Ta có \(\widehat {BHM} = \hat C\) (vì cùng phụ với \(\widehat {HBC}\)).

Trong \(\Delta AMC\) vuông tại \(M\): \(\tan C = \frac{{AM}}{{MC}} = \frac{{\sqrt 5 }}{2}\).

 Trong \(\Delta BHM\) vuông tại \(M\): \(HM = BM \cdot \cot \widehat {BHM} = BM \cdot \frac{1}{{\tan C}} = 2 \cdot \frac{2}{{\sqrt 5 }} = \frac{4}{{\sqrt 5 }}\).

Áp dụng định lý Pytago cho \(\Delta HMC\) vuông tại \(M\):

\(HC = \sqrt {H{M^2} + M{C^2}}  = \sqrt {{{\left( {\frac{4}{{\sqrt 5 }}} \right)}^2} + {2^2}}  = \frac{6}{{\sqrt 5 }}\)

2. Xác định góc \(\alpha \) và khoảng cách:

 Ta có: \(BC \bot AM\) và \(BC \bot SA \Rightarrow BC \bot (SAM)\).

Từ đó suy ra: \((SBC) \bot (SAM)\) theo giao tuyến SM.

Trong mặt phẳng \((SAM)\), kẻ \(HP \bot SM\) tại \(P\). Vì \((SBC) \bot (SAM)\) nên \(HP \bot (SBC)\).

Do đó, \(P\) là hình chiếu vuông góc của \(H\) lên mặt phẳng \((SBC)\). Góc giữa \[CH\] và mặt phẳng \[\left( {SBC} \right)\] chính là góc \(\widehat {HCP} = \alpha \).

3. Tính \(\cos \alpha \):

 Trong \(\Delta SAM\) vuông tại \(A\): \(SM = \sqrt {S{A^2} + A{M^2}}  = \sqrt {{4^2} + 5}  = \sqrt {21} \).

 Xét \(\Delta HPM\) vuông tại \(P\), ta có \(\sin \widehat {SMP} = \frac{{SA}}{{SM}} = \frac{4}{{\sqrt {21} }}\).

\(HP = HM \cdot \sin \widehat {SMP} = \frac{4}{{\sqrt 5 }} \cdot \frac{4}{{\sqrt {21} }} = \frac{{16}}{{\sqrt {105} }}\)

Xét \(\Delta HPC\) vuông tại \(P\):

\(\sin \alpha  = \frac{{HP}}{{HC}} = \frac{{\frac{{16}}{{\sqrt {105} }}}}{{\frac{6}{{\sqrt 5 }}}} = \frac{{16}}{{6\sqrt {21} }} = \frac{8}{{3\sqrt {21} }}\)

 Suy ra giá trị của \(\cos \alpha \):

\(\cos \alpha  = \sqrt {1 - {{\sin }^2}\alpha }  = \sqrt {1 - \frac{{64}}{{9 \cdot 21}}}  = \sqrt {\frac{{125}}{{189}}}  = \frac{{5\sqrt {105} }}{{63}}\)

Kết luận: \(\cos \alpha  = \frac{{{\bf{5}}\sqrt {{\bf{105}}} }}{{{\bf{63}}}}\).