Một xưởng mộc sản suất hai loại sản phẩm: Bàn gỗ và ghế gỗ. Xưởng có tối đa 240 đơn vị gỗ và tổng thời gian nhân công là 100 giờ. Để làm cái bài cần 5 đơn vị gỗ và 2 giờ công. Để làm 1 cái ghế cần 2 đơn vị gỗ và 1 giờ công. Mỗi cái bàn lãi 600.000 đồng, mỗi cái ghế lãi 300.000 đồng. Lợi nhuận của xưởng mộc lớn nhất là bao nhiêu triệu đồng?

1. Tính các đại lượng ở đáy \[ABC\]:

Gọi \(M\) là trung điểm của \[BC\].

 Vì \(\Delta ABC\) cân tại \(A\) nên \(AM \bot BC\). Ta có \(BM = MC = \frac{{BC}}{2} = 2\).

Trong \(\Delta ABM\) vuông tại \(M\): \(AM = \sqrt {A{B^2} - B{M^2}}  = \sqrt {{3^2} - {2^2}}  = \sqrt 5 \).

Vì \(H\) là trực tâm \(\Delta ABC\) nên \(H\) nằm trên đường cao AM.

Ta có \(\widehat {BHM} = \hat C\) (vì cùng phụ với \(\widehat {HBC}\)).

Trong \(\Delta AMC\) vuông tại \(M\): \(\tan C = \frac{{AM}}{{MC}} = \frac{{\sqrt 5 }}{2}\).

 Trong \(\Delta BHM\) vuông tại \(M\): \(HM = BM \cdot \cot \widehat {BHM} = BM \cdot \frac{1}{{\tan C}} = 2 \cdot \frac{2}{{\sqrt 5 }} = \frac{4}{{\sqrt 5 }}\).

Áp dụng định lý Pytago cho \(\Delta HMC\) vuông tại \(M\):

\(HC = \sqrt {H{M^2} + M{C^2}}  = \sqrt {{{\left( {\frac{4}{{\sqrt 5 }}} \right)}^2} + {2^2}}  = \frac{6}{{\sqrt 5 }}\)

2. Xác định góc \(\alpha \) và khoảng cách:

 Ta có: \(BC \bot AM\) và \(BC \bot SA \Rightarrow BC \bot (SAM)\).

Từ đó suy ra: \((SBC) \bot (SAM)\) theo giao tuyến SM.

Trong mặt phẳng \((SAM)\), kẻ \(HP \bot SM\) tại \(P\). Vì \((SBC) \bot (SAM)\) nên \(HP \bot (SBC)\).

Do đó, \(P\) là hình chiếu vuông góc của \(H\) lên mặt phẳng \((SBC)\). Góc giữa \[CH\] và mặt phẳng \[\left( {SBC} \right)\] chính là góc \(\widehat {HCP} = \alpha \).

3. Tính \(\cos \alpha \):

 Trong \(\Delta SAM\) vuông tại \(A\): \(SM = \sqrt {S{A^2} + A{M^2}}  = \sqrt {{4^2} + 5}  = \sqrt {21} \).

 Xét \(\Delta HPM\) vuông tại \(P\), ta có \(\sin \widehat {SMP} = \frac{{SA}}{{SM}} = \frac{4}{{\sqrt {21} }}\).

\(HP = HM \cdot \sin \widehat {SMP} = \frac{4}{{\sqrt 5 }} \cdot \frac{4}{{\sqrt {21} }} = \frac{{16}}{{\sqrt {105} }}\)

Xét \(\Delta HPC\) vuông tại \(P\):

\(\sin \alpha  = \frac{{HP}}{{HC}} = \frac{{\frac{{16}}{{\sqrt {105} }}}}{{\frac{6}{{\sqrt 5 }}}} = \frac{{16}}{{6\sqrt {21} }} = \frac{8}{{3\sqrt {21} }}\)

 Suy ra giá trị của \(\cos \alpha \):

\(\cos \alpha  = \sqrt {1 - {{\sin }^2}\alpha }  = \sqrt {1 - \frac{{64}}{{9 \cdot 21}}}  = \sqrt {\frac{{125}}{{189}}}  = \frac{{5\sqrt {105} }}{{63}}\)

Kết luận: \(\cos \alpha  = \frac{{{\bf{5}}\sqrt {{\bf{105}}} }}{{{\bf{63}}}}\).