Cho hàm số \(f\left( x \right) = \frac{{a{x^2} + bx + c}}{{x + d}}\) có bảng biến thiên như hình vẽ dưới đây

Lời giải

a) Từ bảng biến thiên ta có đồ thị hàm số có hai điểm cực trị: \(A\left( {0;\,2} \right)\); \(B\left( {4;\, - 6} \right)\).

Gọi \(\Delta :y = mx + n\)  là đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số đã cho.

Ta có hệ: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{m.0 + n = 2}\\{m.4 + n =  - 6}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{m =  - 2}\\{n = 2}\end{array}} \right.\)

Vậy \(\Delta :y =  - 2x + 2\) hay \(\Delta :2x + y - 2 = 0\).

Vậy a) đúng

b) Hàm số đã cho có hai điểm cực trị.

Vậy b) sai

c) Ta có: \(f'\left( x \right) = \frac{{a{x^2} + 2adx + bd - c}}{{{{\left( {x + d} \right)}^2}}}\).

Đồ thị hàm số \(f\left( x \right) = \frac{{a{x^2} + bx + c}}{{x + d}}\) có tiệm cận đứng \(x =  - d\).

Từ bảng biến thiên ta thấy: Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng \(x = 2\); \(f\left( 0 \right) = 2;\,f\left( 4 \right) =  - 6\); \(f'\left( 0 \right) = 0\)

Do đó: \( - d = 2 \Rightarrow d =  - 2\).

\(f\left( 0 \right) = 2 \Leftrightarrow \frac{c}{d} = 2 \Rightarrow c = 2d = 2.\left( { - 2} \right) =  - 4\).

\(f\left( 4 \right) =  - 6 \Leftrightarrow \frac{{16a + 4b - 4}}{{4 + \left( { - 2} \right)}} =  - 6 \Leftrightarrow 8a + 2b =  - 4\)\( \Leftrightarrow 4a + b =  - 2\). \(\left( 1 \right)\)

\(f'\left( 0 \right) = \frac{{bd - c}}{{{d^2}}} = 0 \Rightarrow bd - c = 0 \Leftrightarrow b = \frac{c}{d} = \frac{{ - 4}}{{ - 2}} = 2\).

Thay \(b = 2\) vào \(\left( 1 \right)\) ta được: \(4a + 2 =  - 2 \Rightarrow a =  - 1\).

Vậy \(a + b + c + d =  - 1 + 2 + \left( { - 4} \right) + \left( { - 2} \right) =  - 5\).

Vậy c) đúng

d) Hàm số \(f\left( x \right)\) đồng biến trên các khoảng \(\left( {0;\,2} \right)\) và \(\left( {2;\,4} \right)\).

Vậy d) sai