Một cổng có hình dạng là một parabol \(\left( P \right)\) có đỉnh là điểm \(I\), hai chân cổng là hai điểm \(E,F\) nằm trên mặt đất. Để tiện phân luồng giao thông, người ta dựng một khung chân có dạng hình vuông \(ABCD\) có cạnh dài 6 mét như hình vẽ bên dưới, với hai điểm \(A,D\) nằm trên \(\left( P \right)\). Biết trục đối xứng của hình vuông trùng với trục đối xứng của \(\left( P \right)\).

Diện tích nhỏ nhất của phần cổng giới hạn bởi parabol \(\left( P \right)\) và mặt đường \(EF\) là bao nhiêu mét vuông? (làm tròn kết quả đến hàng phần chục)

Lời giải

Trả lời: 62,4.

Chọn hệ tọa độ \(Oxy\) thỏa mãn:

Trục đối xứng của parabol trùng với trục \(Oy\), và mặt đường \(EF\) trùng với trục \(Ox\).

Khi đó, đỉnh \(I\) của parabol sẽ có tọa độ \((0,h)\) với \(h > 0\). Vì parabol là một cổng có dạng vòm nên nó quay bề lõm xuống dưới, suy ra phương trình của parabol có dạng \(y = a{x^2} + h\) với \(a < 0\).

Khung chắn \(ABCD\) là một hình vuông có cạnh dài \(6\) mét. Vì trục đối xứng của hình vuông trùng với trục \(Oy\) và \(A,D\) nằm trên parabol, \(B,C\) nằm trên mặt đất \(Ox\), ta có các tọa độ của các đỉnh hình vuông như sau: \(A( - 3,6)\), \(B( - 3,0)\), \(C(3,0)\), \(D(3,6)\)

Do các điểm \(A( - 3,6)\) (hoặc \(D(3,6)\)) thuộc parabol \(y = a{x^2} + h\), ta thay tọa độ của \(A\) vào phương trình parabol:

\(6 = a{( - 3)^2} + h \Rightarrow 6 = 9a + h\).

Từ đó, ta có \(a = \frac{{6 - h}}{9}\).

Vì parabol quay bề lõm xuống dưới nên \(a < 0\). Điều này có nghĩa là \(\frac{{6 - h}}{9} < 0 \Rightarrow 6 - h < 0 \Rightarrow h > 6\).

Parabol cắt trục \(Ox\) (mặt đất) tại hai điểm \(E\) và \(F\). Để tìm tọa độ của \(E,F\), ta cho \(y = 0\) trong phương trình parabol: \(a{x^2} + h = 0 \Rightarrow a{x^2} =  - h \Rightarrow {x^2} =  - \frac{h}{a}\).

Vì \(a < 0\) và \(h > 6\), nên \( - \frac{h}{a} > 0\). Suy ra \(x =  \pm \sqrt { - \frac{h}{a}} \). Vậy \(E( - \sqrt { - \frac{h}{a}} ,0)\) và \(F(\sqrt { - \frac{h}{a}} ,0)\).

Chiều dài đoạn \(EF\) là \(2\sqrt { - \frac{h}{a}} \).

Diện tích của phần cổng (hình phẳng giới hạn bởi parabol và trục \(Ox\)) được tính bằng công thức diện tích hình viên phân parabol:

Chiều dài đáy là \(EF = 2\sqrt { - \frac{h}{a}} \).

Chiều cao là tung độ đỉnh của parabol, tức là \(h\).

Do đó, diện tích \(S = \frac{2}{3}.\left( {2\sqrt { - \frac{h}{a}} } \right).h = \frac{4}{3}h\sqrt { - \frac{h}{a}} \).

Thay \(a = \frac{{6 - h}}{9}\) vào biểu thức diện tích \(S\): \(S = \frac{4}{3}h\sqrt { - \frac{h}{{\frac{{6 - h}}{9}}}}  = 4\sqrt {\frac{{{h^3}}}{{h - 6}}} \)

Xét hàm số \(f(h) = \frac{{{h^3}}}{{h - 6}}\). Ta có: \(f'(h) = \frac{{2{h^2}(h - 9)}}{{{{(h - 6)}^2}}}\).

Cho \(f'(h) = 0\)\( \Leftrightarrow \frac{{2{h^2}(h - 9)}}{{{{(h - 6)}^2}}} = 0\) \( \Rightarrow h = 9\). Vậy \(f(h)\) đạt giá trị nhỏ nhất tại \(h = 9\).

Thay \(h = 9\) vào công thức tính diện tích \(S\): \({S_{min}} = 4\sqrt {\frac{{{9^3}}}{{9 - 6}}}  = 36\sqrt 3 \).

Làm tròn kết quả đến hàng phần chục, ta được \({S_{min}} \approx 62.4\) (mét vuông).

Kết luận: Diện tích nhỏ nhất của phần cổng giới hạn bởi parabol \((P)\) và mặt đường \(EF\) là \(62.4\) mét vuông.