Một vật đang chuyển động với vận tốc \({v_0} = 12,(m/s)\) thì thay đổi vận tốc với gia tốc \(a = 5 - t,(m/{s^2})\) (với \(t\) giây là thời gian chuyển động).

Lời giải

a) \(\int\limits_1^5 {\left| {f'\left( x \right)} \right|{\rm{d}}x}  = 128 \Rightarrow  - \int\limits_1^5 {f'\left( x \right){\rm{d}}x}  = 128 \Rightarrow \int\limits_1^5 {f'\left( x \right){\rm{d}}x}  =  - 128\). Suy ra là mệnh đề sai.

b) \(\int\limits_{ - 1}^1 {\left| {f'\left( x \right)} \right|{\rm{d}}x}  = 20 \Rightarrow \int\limits_{ - 1}^1 {f'\left( x \right){\rm{d}}x}  = 20 \Rightarrow \int\limits_{ - 1}^1 {f'\left( x \right){\rm{d}}x}  > \int\limits_1^5 {f'\left( x \right){\rm{d}}x} \). Suy ra là mệnh đề sai.

c) \(\int\limits_{ - 1}^1 {f'\left( x \right){\rm{d}}x}  = 20 \Rightarrow f\left( 1 \right) - f\left( { - 1} \right) = 20 \Rightarrow f\left( 1 \right) = f\left( { - 1} \right) + 20 = 20 - \frac{{43}}{4} = \frac{{37}}{4}\). Suy ra là mệnh đề đúng.

d) \(\int\limits_{ - 1}^5 {f'\left( x \right){\rm{d}}x}  = \int\limits_{ - 1}^1 {f'\left( x \right){\rm{d}}x}  + \int\limits_1^5 {f'\left( x \right){\rm{d}}x}  = 20 - 128 =  - 108\). Suy ra là mệnh đề đúng.

Lời giải

a) Lợi nhuận khi bán được \(x\) đơn vị sản phẩm được tính bằng công thức

\(P\left( x \right) = \int {\left( { - 0,0006x + 9,4} \right)} \,{\rm{d}}x =  - 0,0003{x^2} + 9,4x + C\).

Do \(P\left( 0 \right) = 0\) nên \(C = 0\). Suy ra \(P\left( x \right) =  - 0,0003{x^2} + 9,4x\).

b) Lợi nhuận khi bán được \(40\) sản phẩm đầu tiên là

\(P\left( {40} \right) =  - 0,0003\,.\,{40^2} + 9,4\,.\,40 = 375,52\) (triệu đồng).

c) Lợi nhuận khi bán được \(45\) sản phẩm đầu tiên là

\(P\left( {45} \right) =  - 0,0003\,.\,{45^2} + 9,4\,.\,45 = 422,3925\) (triệu đồng).

Sự thay đổi của lợi nhuận khi doanh số tăng từ \(40\) lên \(45\) đơn vị sản phẩm là

\(P\left( {45} \right) - P\left( {40} \right) = 422,3925 - 375,52 = 46,8725\) (triệu đồng).

d) Theo đề bài, sự thay đổi của lợi nhuận khi doanh số tăng từ \(40\) lên \(a\) đơn vị sản phẩm lớn hơn \(350\) triệu đồng, ta có

\(\begin{array}{l}P\left( a \right) - P\left( {40} \right) > 350\\ \Leftrightarrow \left( { - 0,0003{a^2} + 9,4a} \right) - 375,52 > 350\\ \Leftrightarrow  - 0,0003{a^2} + 9,4a - 725,52 > 0\\ \Rightarrow 77,37 < a < 31255,96\end{array}\)

Mà \(a \in \mathbb{N} \Rightarrow {a_{\min }} = 78\).